Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran

Persamaan lingkaran yang dicari adalah (x+3)^2 + (y-5)^2 = 4 atau x^2 + y^2 + 6x - 10y + 30 = 0.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x^2+y^2+6x-10y-34=0 dan menyinggung garis 4x+3y+7=0, kita perlu mencari pusat lingkaran terlebih dahulu. Pusat lingkaran dapat ditemukan dengan mengubah persamaan lingkaran ke bentuk standar (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.

Persamaan lingkaran: x^2+y^2+6x-10y-34=0
Ubah menjadi bentuk kuadrat sempurna:
(x^2+6x) + (y^2-10y) = 34
(x^2+6x+9) + (y^2-10y+25) = 34+9+25
(x+3)^2 + (y-5)^2 = 68
Pusat lingkaran adalah (-3, 5).

Karena lingkaran baru sepusat dengan lingkaran yang diberikan, pusatnya tetap (-3, 5).
Selanjutnya, lingkaran menyinggung garis 4x+3y+7=0. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat (-3, 5) ke garis 4x+3y+7=0.
Rumus jarak titik (x0, y0) ke garis Ax+By+C=0 adalah: d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
Dalam kasus ini, (x0, y0) = (-3, 5), A=4, B=3, C=7.
Jari-jari (r) = |4(-3) + 3(5) + 7| / sqrt(4^2 + 3^2)
r = |-12 + 15 + 7| / sqrt(16 + 9)
r = |10| / sqrt(25)
r = 10 / 5
r = 2

Maka, persamaan lingkaran yang baru adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 2^2
(x+3)^2 + (y-5)^2 = 4
Atau dalam bentuk umum:
x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = 4
x^2 + y^2 + 6x - 10y + 34 = 4
x^2 + y^2 + 6x - 10y + 30 = 0