Nilai terkecil (minimum) dari fungsi:f(x)=15/(cos x-akar(3)

Nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 3.

Pembahasan

Untuk mencari nilai terkecil dari fungsi f(x) = 15 / (cos x - sqrt(3) sin x + 3), kita perlu menganalisis penyebutnya. Nilai f(x) akan terkecil ketika penyebutnya bernilai terbesar, dan sebaliknya.

Mari kita fokus pada penyebut: P(x) = cos x - sqrt(3) sin x + 3.
Kita bisa mengubah bentuk cos x - sqrt(3) sin x menggunakan identitas R cos(x + alpha) atau R sin(x + alpha).
Untuk bentuk R cos(x + alpha) = R (cos x cos alpha - sin x sin alpha).
Kita samakan koefisien cos x dan sin x:
R cos alpha = 1 (koefisien cos x)
R sin alpha = sqrt(3) (koefisien sin x, dengan tanda negatif diabaikan karena kita akan memasukkannya ke dalam identitas)

Kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan:
(R cos alpha)^2 + (R sin alpha)^2 = 1^2 + (sqrt(3))^2
R^2 (cos^2 alpha + sin^2 alpha) = 1 + 3
R^2 (1) = 4
R = 2 (karena R harus positif).

Sekarang cari alpha:
tan alpha = (R sin alpha) / (R cos alpha) = sqrt(3) / 1 = sqrt(3).
Nilai alpha yang memenuhi adalah 60 derajat atau pi/3 radian.

Jadi, cos x - sqrt(3) sin x dapat ditulis sebagai 2 cos(x + 60 derajat).

Penyebut P(x) menjadi: 2 cos(x + 60 derajat) + 3.

Kita tahu bahwa nilai cosinus berkisar antara -1 dan 1, yaitu -1 <= cos(theta) <= 1.
Oleh karena itu, -1 <= cos(x + 60 derajat) <= 1.

Untuk mencari nilai terbesar dari penyebut P(x), kita perlu nilai cos(x + 60 derajat) terbesar, yaitu 1.
Nilai maksimum penyebut = 2(1) + 3 = 5.

Untuk mencari nilai terkecil dari penyebut P(x), kita perlu nilai cos(x + 60 derajat) terkecil, yaitu -1.
Nilai minimum penyebut = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1.

Sekarang kita kembali ke fungsi f(x) = 15 / P(x).
Nilai f(x) akan minimum ketika penyebut P(x) maksimum.
Nilai minimum f(x) = 15 / (nilai maksimum P(x)) = 15 / 5 = 3.

Nilai f(x) akan maksimum ketika penyebut P(x) minimum.
Nilai maksimum f(x) = 15 / (nilai minimum P(x)) = 15 / 1 = 15.

Jadi, nilai terkecil (minimum) dari fungsi f(x) adalah 3.