Nilai x yang memenuhi 1/2 log (x^2-2 x)>=1/4 log x^2 adalah

2 < x ≤ 3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma \(\frac{1}{2} \log (x^2-2x) \ge \frac{1}{4} \log x^2\), pertama kita ubah basis logaritma agar sama. Kita bisa mengubah \(\frac{1}{4}\) menjadi \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) atau basis \(\frac{1}{4}\) menjadi \(\frac{1}{2}\). Mengubah basis \(\frac{1}{4}\) ke \(\frac{1}{2}\) menggunakan sifat \(\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b\) atau \(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b\). Kita punya \(\frac{1}{4} \log x^2 = \log_{(2^2)^2} x^2 = \log_{2^4} x^2\). Lebih mudah jika kita menggunakan \(\frac{1}{4} \log x^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \log x^2 = \frac{1}{2} \log (x^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log |x|\). Namun, ada cara lain yang lebih langsung: \(\frac{1}{4} \log x^2 = \frac{2}{4} \log |x| = \frac{1}{2} \log |x|\). Sehingga pertidaksamaan menjadi \(\frac{1}{2} \log (x^2-2x) \ge \frac{1}{2} \log |x|\). Karena basis \(\frac{1}{2}\) < 1, maka arah pertidaksamaan berubah: \(x^2-2x \le |x|\). Kita juga harus memperhatikan domain logaritma, yaitu \(x^2-2x > 0\) dan \(x^2 > 0\). \(x^2-2x > 0 \implies x(x-2) > 0 \implies x < 0 \text{ atau } x > 2\). \(x^2 > 0 \implies x \ne 0\). Jadi, domainnya adalah \(x < 0 \text{ atau } x > 2\). Sekarang kita selesaikan \(x^2-2x \le |x|\). Kasus 1: Jika \(x > 0\). Maka |x| = x. Pertidaksamaannya menjadi \(x^2-2x \le x \implies x^2-3x \le 0 \implies x(x-3) \le 0 \implies 0 \le x \le 3\). Iriskan dengan domain \(x > 2\), maka \(2 < x \le 3\). Kasus 2: Jika \(x < 0\). Maka |x| = -x. Pertidaksamaannya menjadi \(x^2-2x \le -x \implies x^2-x \le 0 \implies x(x-1) \le 0 \implies 0 \le x \le 1\). Iriskan dengan domain \(x < 0\), maka tidak ada solusi pada kasus ini. Jadi, solusi yang memenuhi adalah \(2 < x \le 3\).