Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (2(x-6))/(x-4)<=x+2, x

x = 2 atau x > 4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \((2(x-6))/(x-4) <= x+2\), kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan menyederhanakannya.

Langkah 1: Pindahkan \(x+2\) ke sisi kiri.
\(\frac{2(x-6)}{x-4} - (x+2) <= 0\)

Langkah 2: Samakan penyebutnya.
\(\frac{2(x-6) - (x+2)(x-4)}{x-4} <= 0\)

Langkah 3: Jabarkan pembilangnya.
\(\frac{2x - 12 - (x^2 - 4x + 2x - 8)}{x-4} <= 0\)
\(\frac{2x - 12 - (x^2 - 2x - 8)}{x-4} <= 0\)
\(\frac{2x - 12 - x^2 + 2x + 8}{x-4} <= 0\)
\(\frac{-x^2 + 4x - 4}{x-4} <= 0\)

Langkah 4: Kalikan pembilang dan penyebut dengan -1 untuk membuat koefisien \(x^2\) positif, dan ubah arah pertidaksamaan.
\(\frac{x^2 - 4x + 4}{x-4} >= 0\)

Langkah 5: Faktorkan pembilang.
Pembilang adalah bentuk kuadrat sempurna: \((x-2)^2\).
Jadi, pertidaksamaannya menjadi: \(\frac{(x-2)^2}{x-4} >= 0\)

Langkah 6: Tentukan pembuat nol untuk pembilang dan penyebut.
Pembilang: \((x-2)^2 = 0 => x = 2\) (akar kembar)
Penyebut: \(x-4 = 0 => x = 4\)

Langkah 7: Buat garis bilangan dan uji daerah.
Titik-titik kritis adalah 2 dan 4. Ingat bahwa \(x \neq 4\) karena penyebut tidak boleh nol.

Uji daerah:
- Untuk \(x < 2\), misal x=0: \(\frac{(0-2)^2}{0-4} = \frac{4}{-4} = -1\) (negatif)
- Untuk \(2 <= x < 4\), misal x=3: \(\frac{(3-2)^2}{3-4} = \frac{1}{-1} = -1\) (negatif)
- Untuk \(x > 4\), misal x=5: \(\frac{(5-2)^2}{5-4} = \frac{9}{1} = 9\) (positif)

Kita mencari daerah di mana \(\frac{(x-2)^2}{x-4} >= 0\).
Karena \((x-2)^2\) selalu non-negatif (lebih besar atau sama dengan nol), tanda pertidaksamaan akan ditentukan oleh \(x-4\) dan juga oleh fakta bahwa \((x-2)^2\) bisa nol.

Ketika \(x=2\), nilai pertidaksamaan adalah 0, yang memenuhi \(>=0\).
Ketika \(x \neq 4\), agar hasil bagi positif, penyebut \(x-4\) harus positif.
Jadi, \(x-4 > 0\) => \(x > 4\).

Dengan mempertimbangkan \(x=2\) sebagai solusi (karena \((2-2)^2 = 0\)) dan \(x>4\) sebagai solusi, maka himpunan penyelesaiannya adalah \(x=2\) atau \(x > 4\).