Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan logaritma

Nilai x yang memenuhi adalah 0 < x < 10^(1 - √10/2) atau x > 10^(1 + √10/2).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Pertidaksamaan: 2log²(x) - 2log(x²) - 3 > 0

Langkah 1: Ubah bentuk logaritma menggunakan sifat logaritma.
Kita tahu bahwa log(a^b) = b*log(a). Jadi, log(x²) = 2log(x).

Pertidaksamaan menjadi: 2log²(x) - 2(2log(x)) - 3 > 0
2log²(x) - 4log(x) - 3 > 0

Langkah 2: Lakukan substitusi untuk menyederhanakan.
Misalkan y = log(x).
Maka pertidaksamaan menjadi: 2y² - 4y - 3 > 0

Langkah 3: Cari akar-akar dari persamaan kuadrat 2y² - 4y - 3 = 0.
Kita bisa menggunakan rumus kuadrat (rumus abc): y = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 2, b = -4, c = -3.

y = [ -(-4) ± √((-4)² - 4 * 2 * (-3)) ] / (2 * 2)
y = [ 4 ± √(16 + 24) ] / 4
y = [ 4 ± √40 ] / 4
y = [ 4 ± 2√10 ] / 4
y = 1 ± (√10)/2

Jadi, akar-akarnya adalah y₁ = 1 - (√10)/2 dan y₂ = 1 + (√10)/2.

Langkah 4: Tentukan interval untuk y berdasarkan pertidaksamaan 2y² - 4y - 3 > 0.
Karena koefisien dari y² (yaitu 2) positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan > 0 berarti kita mencari daerah di mana nilai y berada di luar akar-akarnya.

Maka, y < 1 - (√10)/2 atau y > 1 + (√10)/2.

Langkah 5: Substitusikan kembali y = log(x).

Kasus 1: log(x) < 1 - (√10)/2
Asumsikan basis logaritma adalah 10 (logaritma umum).
Jika log₁₀(x) < 1 - (√10)/2, maka x < 10^(1 - (√10)/2).

Kasus 2: log(x) > 1 + (√10)/2
Jika log₁₀(x) > 1 + (√10)/2, maka x > 10^(1 + (√10)/2).

Langkah 6: Perhatikan syarat numerus logaritma.
Syarat numerus logaritma adalah x > 0.

Dengan menggabungkan kedua hasil (dari langkah 5 dan 6), nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah:
0 < x < 10^(1 - (√10)/2) atau x > 10^(1 + (√10)/2).

Nilai √10 kira-kira 3.16. Jadi:
1 - (√10)/2 ≈ 1 - 3.16/2 = 1 - 1.58 = -0.58
1 + (√10)/2 ≈ 1 + 3.16/2 = 1 + 1.58 = 2.58

Maka, solusinya adalah 0 < x < 10^(-0.58) atau x > 10^(2.58).

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan logaritma 2log²(x)-2logx²-3>0 adalah 0 < x < 10^(1 - √10/2) atau x > 10^(1 + √10/2).