P, Q, dan R adalah titik-titik tengah BC, CA, dan AB dari

Dengan menggunakan definisi titik tengah dan sifat vektor, terbukti bahwa AP + BQ + CR = 0.

Pembahasan

Diberikan segitiga ABC dengan P, Q, dan R sebagai titik-titik tengah BC, CA, dan AB berturut-turut. Vektor posisi A, B, C adalah vektor a, vektor b, vektor c. Vektor posisi P, Q, R adalah vektor p, vektor q, vektor r. Kita perlu membuktikan bahwa AP + BQ + CR = 0.

Karena P adalah titik tengah BC, maka vektor posisi P adalah:
vektor p = (vektor b + vektor c) / 2

Karena Q adalah titik tengah CA, maka vektor posisi Q adalah:
vektor q = (vektor c + vektor a) / 2

Karena R adalah titik tengah AB, maka vektor posisi R adalah:
vektor r = (vektor a + vektor b) / 2

Sekarang kita akan menghitung masing-masing vektor:

AP = vektor p - vektor a
AP = (vektor b + vektor c) / 2 - vektor a
AP = (vektor b + vektor c - 2 * vektor a) / 2

BQ = vektor q - vektor b
BQ = (vektor c + vektor a) / 2 - vektor b
BQ = (vektor c + vektor a - 2 * vektor b) / 2

CR = vektor r - vektor c
CR = (vektor a + vektor b) / 2 - vektor c
CR = (vektor a + vektor b - 2 * vektor c) / 2

Sekarang kita jumlahkan ketiga vektor tersebut:
AP + BQ + CR = [(vektor b + vektor c - 2 * vektor a) / 2] + [(vektor c + vektor a - 2 * vektor b) / 2] + [(vektor a + vektor b - 2 * vektor c) / 2]

Karena penyebutnya sama, kita bisa menjumlahkan pembilangnya:
AP + BQ + CR = (vektor b + vektor c - 2 * vektor a + vektor c + vektor a - 2 * vektor b + vektor a + vektor b - 2 * vektor c) / 2

Gabungkan vektor-vektor yang sejenis:
AP + BQ + CR = (-2*vektor a + vektor a + vektor a) + (vektor b - 2*vektor b + vektor b) + (vektor c + vektor c - 2*vektor c) / 2

AP + BQ + CR = (0 * vektor a) + (0 * vektor b) + (0 * vektor c) / 2

AP + BQ + CR = 0 / 2

AP + BQ + CR = 0

Terbukti bahwa AP + BQ + CR = 0.