P(x, y, z) pada perpanjangan garis BA sehingga AP: AB=2:5.

Besaran vektor posisi titik P adalah sqrt(97).

Pembahasan

Untuk menentukan vektor posisi titik P, kita dapat menggunakan konsep pembagian ruas garis berwujud vektor. Diketahui bahwa titik P terletak pada perpanjangan garis BA sehingga AP: AB = 2:5. Ini berarti bahwa vektor AP adalah 2/5 dari vektor AB. Namun, karena P berada pada perpanjangan garis BA, maka arah vektor AP berlawanan dengan arah vektor AB. Lebih tepatnya, titik P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan 2:(-3) atau -2:3. Namun, jika AP:AB = 2:5, ini berarti P terletak di luar segmen AB pada sisi B. Dengan A sebagai titik pangkal, vektor posisi P dapat dinyatakan sebagai P = A + (5/2) * (B-A) atau P = A + (5/2)BA. Jika AP:AB=2:5, maka P terletak pada perpanjangan BA sehingga AP = (2/5)AB. Ini berarti P juga terletak pada perpanjangan AB. Dengan A sebagai titik asal, kita dapat menulis vektor AP = (2/5) vektor AB. Jika A = (2, -4, 3) dan B = (12, -9, -17), maka vektor AB = B - A = (12-2, -9-(-4), -17-3) = (10, -5, -20). Maka, vektor AP = (2/5) * (10, -5, -20) = (4, -2, -8). Karena P adalah titik pada perpanjangan garis BA, maka vektor AP = vektor P - vektor A. Jadi, vektor posisi P = vektor A + vektor AP = (2, -4, 3) + (4, -2, -8) = (2+4, -4-2, 3-8) = (6, -6, -5). Besaran vektor posisi titik P adalah panjang vektor P, yaitu |P| = sqrt(6^2 + (-6)^2 + (-5)^2) = sqrt(36 + 36 + 25) = sqrt(97).