Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=2 cm, BC=4 cm,

(4√5)/5 cm

Pembahasan

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan:
Panjang AB = 2 cm (misalnya panjang)
Lebar BC = 4 cm (misalnya lebar)
Tinggi AE = 6 cm (misalnya tinggi)

Kita perlu mencari jarak antara garis EH dengan bidang BDHF.

Garis EH adalah salah satu rusuk atas balok yang sejajar dengan garis FG dan AD, BC.
Garis EH terletak pada bidang EFGH dan bidang ADHE.

Bidang BDHF adalah bidang diagonal balok yang memotong balok. Bidang ini dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal atas FH, atau diagonal sisi BF dan DH.

Karena garis EH sejajar dengan garis AD dan BC, dan garis AD serta BC terletak pada bidang ABCD dan EFGH, maka garis EH juga sejajar dengan bidang BDHF. Ini dapat dilihat karena EH sejajar dengan AD, dan AD adalah bagian dari bidang ADGF (bukan BDHF) dan juga EH sejajar dengan BC, dan BC adalah bagian dari bidang BCHE (bukan BDHF).

Mari kita perjelas bidang BDHF. Bidang BDHF dibentuk oleh titik B, D, H, F.
- Garis BD adalah diagonal alas.
- Garis FH adalah diagonal atas.
- Garis BF dan DH adalah rusuk tegak.

Garis EH adalah rusuk balok yang menghubungkan titik E dan H. Titik E berada di atas A, dan titik H berada di atas D. Jadi, EH sejajar dengan AD dan BC.

Karena EH sejajar dengan AD, dan AD merupakan bagian dari bidang ADHE, dan bidang ADHE tidak sejajar dengan BDHF, maka EH tidak sejajar dengan bidang BDHF secara keseluruhan.

Namun, jika kita lihat proyeksi garis EH pada bidang BDHF, atau mencari jarak terpendek dari setiap titik pada EH ke bidang BDHF. Karena EH sejajar dengan AD dan BC, dan AD dan BC tidak tegak lurus dengan bidang BDHF, kita perlu mencari jarak tegak lurus.

Garis EH terletak pada bidang EFGH. Bidang EFGH sejajar dengan bidang ABCD.
Garis EH sejajar dengan AD dan BC. Bidang BDHF memotong bidang alas ABCD sepanjang BD dan memotong bidang atas EFGH sepanjang FH.

Perhatikan bahwa garis EH sejajar dengan garis AD. Jarak antara garis EH dan bidang BDHF adalah sama dengan jarak antara garis AD dan bidang BDHF, karena EH sejajar dengan AD.

Bidang BDHF dibentuk oleh rusuk BF, DH, dan diagonal alas BD, diagonal atas FH.

Jarak antara garis EH dengan bidang BDHF adalah jarak tegak lurus dari salah satu titik pada garis EH (misalnya E atau H) ke bidang BDHF.

Mari kita ambil titik E. Bidang BDHF adalah bidang diagonal. Kita perlu mencari jarak dari E ke bidang BDHF. Bidang BDHF memotong bidang EFGH sepanjang FH.

Jarak dari titik E ke bidang BDHF sama dengan jarak dari titik E ke garis FH pada bidang EFGH, jika bidang EFGH tegak lurus dengan BDHF. Namun, ini tidak benar.

Garis EH sejajar dengan garis AD. Jarak antara garis EH dan bidang BDHF adalah sama dengan jarak antara garis AD dan bidang BDHF. Jarak ini adalah jarak tegak lurus dari garis AD ke bidang BDHF. Karena AD tidak sejajar dengan bidang BDHF, kita perlu mencari jarak tegak lurus dari salah satu titik pada AD (misal A) ke bidang BDHF.

Bidang BDHF sejajar dengan bidang ACGE.

Jarak antara garis EH dan bidang BDHF adalah sama dengan jarak antara garis AD dan bidang BDHF. Jarak ini adalah jarak tegak lurus dari titik A ke bidang BDHF. Titik A berada pada bidang ABCD. Garis BD juga ada pada bidang ABCD.

Jarak dari titik A ke garis BD adalah jarak terpendek dari A ke BD. Ini adalah tinggi segitiga ABD jika kita menganggap alasnya BD.

Perhatikan segitiga ABD. AB=2, AD=4. Sudut A adalah 90 derajat. BD = akar(AB^2 + AD^2) = akar(2^2 + 4^2) = akar(4 + 16) = akar(20) = 2*akar(5).
Luas segitiga ABD = 1/2 * AB * AD = 1/2 * 2 * 4 = 4.
Luas segitiga ABD juga = 1/2 * BD * tinggi dari A ke BD.
4 = 1/2 * (2*akar(5)) * tinggi.
4 = akar(5) * tinggi.
Tinggi = 4 / akar(5) = (4*akar(5)) / 5.

Jarak dari A ke bidang BDHF adalah (4*akar(5)) / 5. Karena EH sejajar AD, maka jarak dari EH ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak dari AD ke bidang BDHF, yaitu (4*akar(5)) / 5.

**Namun, ada cara yang lebih sederhana.**
Perhatikan bahwa garis EH sejajar dengan bidang BDHF. Mengapa? Karena EH sejajar dengan AD, dan AD adalah garis yang 'tegak lurus' dengan bidang BDHF dalam artian tertentu jika kita memproyeksikannya.

Sebenarnya, jarak antara garis EH dan bidang BDHF adalah jarak tegak lurus dari setiap titik pada EH ke bidang BDHF. Karena EH sejajar dengan AD, dan AD tidak sejajar dengan bidang BDHF, mari kita lihat lagi.

Garis EH terletak pada bidang EFGH. Bidang BDHF memotong bidang EFGH sepanjang FH.
Jadi, jarak antara garis EH dan bidang BDHF sama dengan jarak antara garis EH dan garis FH. Karena EH dan FH adalah rusuk dan diagonal pada persegi panjang EFGH, jaraknya bukan nol.

Mari kita kembali ke konsep dasar. Jarak antara garis dan bidang sejajar adalah jarak tegak lurus dari setiap titik pada garis ke bidang tersebut.
EH sejajar dengan AD dan BC. Bidang BDHF dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal atas FH, serta rusuk tegak BF dan DH.

Karena EH sejajar dengan AD, dan AD tidak sejajar dengan bidang BDHF, maka EH juga tidak sejajar dengan bidang BDHF.

Perhatikan bahwa bidang ADHE sejajar dengan bidang BCGF.
Garis EH berada pada bidang EFGH.
Bidang BDHF memotong bidang EFGH pada garis FH.
Jarak dari garis EH ke bidang BDHF adalah jarak dari garis EH ke garis FH, karena FH adalah perpotongan bidang BDHF dengan bidang EFGH yang memuat EH.

Dalam persegi panjang EFGH, EH = FG = 2 cm, EF = HG = 4 cm.
FH adalah diagonalnya. FH = akar(EF^2 + FG^2) = akar(4^2 + 2^2) = akar(16+4) = akar(20) = 2*akar(5).

Jarak antara garis EH dan garis FH dalam persegi panjang EFGH adalah jarak tegak lurus dari titik E ke garis FH (atau dari H ke garis FH). Ini adalah tinggi segitiga EFH (atau FGH) dengan alas FH.

Segitiga EFH adalah segitiga siku-siku di E. EF = 4, EH = 2. FH = 2*akar(5).
Luas segitiga EFH = 1/2 * EF * EH = 1/2 * 4 * 2 = 4.
Luas segitiga EFH juga = 1/2 * FH * tinggi dari E ke FH.
4 = 1/2 * (2*akar(5)) * tinggi.
4 = akar(5) * tinggi.
Tinggi = 4 / akar(5) = (4*akar(5)) / 5.

Jadi, jarak antara garis EH dan bidang BDHF adalah (4*akar(5)) / 5 cm.

Mari kita cek dengan cara lain. Proyeksi titik E pada bidang BDHF. Titik E berada di atas A. Bidang BDHF. Kita tahu EA tegak lurus bidang alas ABCD. Jarak dari E ke bidang BDHF sama dengan jarak dari A ke bidang BDHF.
Bidang BDHF memuat garis BD. Jarak dari A ke garis BD adalah tinggi segitiga ABD. AB=2, AD=4, BD=2*akar(5).
Tinggi dari A ke BD adalah (2*4)/(2*akar(5)) = 4/akar(5) = (4*akar(5))/5.

Ini konsisten.