Pada daerah yang diarsir, fungsi objektif z=10x+5y akan

Nilai maksimum fungsi objektif z=10x+5y dicapai di titik (6,0).

Pembahasan

Untuk menentukan titik di mana fungsi objektif z=10x+5y mencapai nilai maksimum pada daerah yang diarsir, kita perlu mengevaluasi fungsi objektif di setiap titik sudut (vertex) dari daerah yang dibatasi oleh ketidaksamaan yang diberikan.

Dari gambar (meskipun tidak disertakan, kita akan mengasumsikan titik-titik sudut berdasarkan informasi umum soal program linear), daerah yang diarsir adalah daerah yang memenuhi ketidaksamaan:
1. y 
2. 3x + 2y 
3. x + 2y 
4. x 
5. y 

Kita perlu menemukan titik potong dari garis-garis batas:
- Garis y = 2x + 2 dan 3x + 2y = 18:
Substitusikan y dari persamaan pertama ke persamaan kedua:
3x + 2(2x + 2) = 18
3x + 4x + 4 = 18
7x = 14
x = 2
Jika x = 2, maka y = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6. Titik potong P adalah (2, 6).

- Garis 3x + 2y = 18 dan x + 2y = 6:
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(3x + 2y) - (x + 2y) = 18 - 6
2x = 12
x = 6
Substitusikan x = 6 ke persamaan x + 2y = 6:
6 + 2y = 6
2y = 0
y = 0. Titik potong R adalah (6, 0).

- Garis y = 2x + 2 dan x + 2y = 6:
Substitusikan y dari persamaan pertama ke persamaan kedua:
x + 2(2x + 2) = 6
x + 4x + 2 = 6
5x = 4
x = 4/5
Jika x = 4/5, maka y = 2(4/5) + 2 = 8/5 + 10/5 = 18/5. Titik potong Q adalah (4/5, 18/5).

Titik sudut lainnya adalah perpotongan sumbu x dan y dengan garis-garis batas, tergantung pada bagaimana daerah tersebut dibatasi lebih lanjut.
Berdasarkan label pada gambar (Q, R, dan P3), titik-titik sudut yang perlu diuji adalah:
- Q (kemungkinan (4/5, 18/5) atau titik lain tergantung gambar)
- R (6, 0)
- P3 (kemungkinan titik potong y=2x+2 dan 3x+2y=18, yaitu (2, 6))
- Titik lain yang membatasi daerah, misalnya perpotongan dengan sumbu jika ada.

Asumsikan titik sudut adalah Q (asumsikan (0,2) dari gambar, yaitu perpotongan y=2x+2 dengan sumbu y), R (6,0), dan P (titik potong 3x+2y=18 dan y=2x+2 yaitu (2,6)). Titik sudut lain bisa (0,3) dari x+2y=6 dengan sumbu y. Dan (0,0).

Mari kita evaluasi z = 10x + 5y di titik-titik sudut yang mungkin:
- Jika titik sudut adalah (0, 2) (perpotongan y=2x+2 dengan sumbu y):
z = 10(0) + 5(2) = 10
- Jika titik sudut adalah (2, 6) (perpotongan y=2x+2 dan 3x+2y=18):
z = 10(2) + 5(6) = 20 + 30 = 50
- Jika titik sudut adalah (6, 0) (perpotongan 3x+2y=18 dengan sumbu x):
z = 10(6) + 5(0) = 60
- Jika titik sudut adalah (0, 3) (perpotongan x+2y=6 dengan sumbu y):
z = 10(0) + 5(3) = 15
- Jika titik sudut adalah (4, 1) (asumsi dari label X):
z = 10(4) + 5(1) = 40 + 5 = 45

Berdasarkan evaluasi ini, nilai maksimum z adalah 60 yang dicapai di titik (6, 0).

Namun, melihat pada pilihan yang diberikan (YS y=2x+2T RS P3x+2y=18x+2y=6 Q0 1 4 6 X), ini menyiratkan bahwa titik-titik sudut adalah:
- Titik di sumbu y yang memenuhi y=2x+2, yaitu saat x=0, y=2. Titik (0,2).
- Titik potong y=2x+2 dan 3x+2y=18, yaitu (2,6).
- Titik potong 3x+2y=18 dan x+2y=6, yaitu (6,0).
- Titik potong x+2y=6 dengan sumbu x, yaitu saat y=0, x=6. Titik (6,0).
- Titik pada sumbu x yang memenuhi x+2y=6, yaitu saat y=0, x=6. Titik (6,0).
- Titik pada sumbu x yang memenuhi 3x+2y=18, yaitu saat y=0, x=6. Titik (6,0).
- Titik P3 mungkin merujuk pada titik potong y=2x+2 dan 3x+2y=18 yaitu (2,6).
- Titik Q mungkin merujuk pada perpotongan garis-garis lain. Dari label 'Q0 1 4 6 X', ini bisa merujuk pada koordinat (0,1), (4,6) atau titik lain. Tapi jika mengacu pada gambar, Q adalah perpotongan x+2y=6 dan sumbu y, yaitu (0,3).

Mari kita periksa ulang titik potong yang paling mungkin berdasarkan penamaan:
- Garis y=2x+2 memotong sumbu y di (0,2).
- Garis 3x+2y=18 memotong sumbu x di (6,0) dan sumbu y di (0,9).
- Garis x+2y=6 memotong sumbu x di (6,0) dan sumbu y di (0,3).

Titik-titik sudut yang mungkin adalah:
1. Perpotongan y=2x+2 dengan sumbu y: (0,2)
2. Perpotongan y=2x+2 dengan 3x+2y=18: (2,6)
3. Perpotongan 3x+2y=18 dengan sumbu x: (6,0)
4. Perpotongan x+2y=6 dengan sumbu y: (0,3)
5. Perpotongan x+2y=6 dengan sumbu x: (6,0) (sama dengan no. 3)

Evaluasi z = 10x + 5y:
- Di (0,2): z = 10(0) + 5(2) = 10
- Di (2,6): z = 10(2) + 5(6) = 20 + 30 = 50
- Di (6,0): z = 10(6) + 5(0) = 60
- Di (0,3): z = 10(0) + 5(3) = 15

Nilai maksimum adalah 60 di titik (6,0).

Jika kita mempertimbangkan label 'X' pada sumbu horizontal, dan angka 0, 1, 4, 6. Serta 'Q' yang mungkin merujuk ke titik (0,3) atau (4,1) atau (1,4) atau (6,0).

Jika kita mengasumsikan P adalah (2,6), Q adalah (0,3) dan R adalah (6,0), serta titik lain adalah (0,2).

Evaluasi z = 10x + 5y:
- z(0,2) = 10
- z(2,6) = 50
- z(6,0) = 60
- z(0,3) = 15

Nilai maksimum adalah 60 di titik (6,0).

Perhatikan bahwa penamaan P, Q, R pada soal seringkali merujuk pada titik-titik sudut daerah yang layak. Berdasarkan ketidaksamaan yang diberikan, kita menemukan titik-titik sudut yang relevan adalah (0,2), (2,6), (6,0), dan (0,3).

Dari evaluasi nilai z di titik-titik sudut tersebut, nilai maksimum diperoleh di titik (6,0).

Namun, jika ada titik lain yang perlu dipertimbangkan berdasarkan gambar (yang tidak disertakan), misalnya jika ada titik lain yang merupakan hasil perpotongan garis-garis tersebut yang membentuk daerah layak yang lebih kompleks.

Berdasarkan informasi yang ada dan asumsi standar soal program linear, titik (6,0) memberikan nilai maksimum.

Jika kita melihat label pada sumbu X: 'Q0 1 4 6 X'. Dan ada titik 'Q'. Jika 'Q' adalah titik (0,3) dan 'X' adalah titik (6,0).

Jika kita menginterpretasikan 'P3' sebagai titik (2,6).

Maka titik-titik sudut yang mungkin adalah (0,2), (0,3), (2,6), (6,0).

Nilai z pada titik-titik ini adalah 10, 15, 50, 60.

Nilai maksimum adalah 60 pada titik (6,0).

Jika kita perhatikan lagi, soal menyatakan "fungsi objektif z=10x+5y akan mencapai nilai maksimum di titik....". Dan ada label 'Q', 'R', 'P3', 'X'.
Jika 'X' merujuk pada titik (6,0), maka ini adalah jawaban yang paling mungkin.

Mari kita pertimbangkan skenario lain jika penamaan 'Q', 'R', 'P3' merujuk pada titik-titik sudut:
- Jika Q adalah (0,3), R adalah (6,0), P3 adalah (2,6). Dan ada titik lain (0,2).

Menguji nilai z = 10x + 5y:
- z(0,3) = 15
- z(6,0) = 60
- z(2,6) = 50
- z(0,2) = 10

Nilai maksimum masih di (6,0).

Ada kemungkinan penamaan pada gambar merujuk langsung pada titik sudut yang memberikan nilai maksimum. Jika 'X' adalah salah satu dari opsi yang dimaksudkan sebagai jawaban, dan grafik menunjukkan bahwa titik dengan koordinat x=6, y=0 adalah titik sudut yang memberikan nilai z terbesar, maka jawabannya adalah titik tersebut.

Tanpa gambar yang jelas, kita bergantung pada interpretasi label dan ketidaksamaan.

Jika kita mengasumsikan bahwa 'X' pada sumbu mengacu pada titik (6,0) sebagai salah satu titik sudut yang memberikan nilai maksimum, maka jawabannya adalah (6,0).

Namun, jika kita melihat teks "YS y=2x+2T RS P3x+2y=18x+2y=6 Q0 1 4 6 X", ini bisa diartikan sebagai:
- YS : Garis y=2x+2
- RS : Garis 3x+2y=18
- P3x+2y=18 : sama dengan RS
- x+2y=6 : Garis lain
- Q0 1 4 6 X : Titik-titik pada sumbu X atau nama titik.

Jika kita berasumsi bahwa titik-titik sudut yang relevan adalah hasil perpotongan garis-garis tersebut dan sumbu koordinat, dan bahwa salah satu dari 'Q', 'R', 'P3', 'X' adalah titik sudut yang memberikan nilai maksimum, maka:
- P3 (titik potong y=2x+2 dan 3x+2y=18) adalah (2,6), z=50.
- R (titik potong 3x+2y=18 dan x+2y=6) adalah (6,0), z=60.
- Q (titik potong x+2y=6 dan sumbu y) adalah (0,3), z=15.
- Titik potong y=2x+2 dengan sumbu y adalah (0,2), z=10.

Nilai maksimum adalah 60 di titik (6,0). Jika 'X' mewakili titik (6,0), maka itu adalah jawabannya. Jika 'X' adalah label yang merujuk pada titik (6,0), maka jawabannya adalah (6,0).