Pada gambar berikut, A dan B adalah titik pusat lingkaran.

Data soal tidak konsisten, sehingga panjang DE, CD, dan BC tidak dapat dihitung.

Pembahasan

Untuk menghitung panjang DE, kita dapat menggunakan teorema kesebangunan segitiga. Misalkan titik D pada lingkaran A dan titik E pada lingkaran B. Karena CED adalah garis singgung persekutuan, maka AD tegak lurus CE dan BE tegak lurus CE. Kita dapat membuat garis sejajar AB dari titik B ke CE, memotong AD di titik H. Maka AB = DH = 15 cm dan AH = BE = 4 cm. Sehingga HD = AD - AH = 6 - 4 = 2 cm. Dalam segitiga siku-siku HED, berlaku HE^2 = ED^2 - HD^2. Karena HE = CE - CH = CE - AB = 16 - 15 = 1 cm, maka 1^2 = ED^2 - 2^2. Ini adalah kesimpulan yang salah karena segitiga HED bukanlah segitiga siku-siku. 

Cara yang benar adalah dengan menggunakan teorema kesebangunan. Perhatikan segitiga ADE dan BXE di mana X adalah titik potong antara AB dan CE. Karena AD sejajar BE (keduanya tegak lurus CE), maka segitiga ADE sebangun dengan segitiga BXE. Oleh karena itu, AD/BE = AE/BE = DE/XE. Ini juga tidak tepat karena E adalah titik singgung pada lingkaran B, bukan titik pada garis AB.

Mari kita gunakan pendekatan lain dengan membuat garis bantu dari B sejajar dengan CE, memotong AD di titik H. Maka AD sejajar BE, AB sejajar DH. ABED adalah trapesium siku-siku. AB = DH = 15 cm. AH = BD = 6 cm (ini salah, AH harusnya sama dengan BE). AD = 6 cm, BE = 4 cm. Gambar yang diberikan menunjukkan garis singgung persekutuan luar. AB adalah jarak antara kedua pusat. AD = r1 = 6 cm, BE = r2 = 4 cm. CE = 16 cm.

Untuk mencari panjang garis singgung persekutuan luar (CE), kita dapat menggunakan rumus: $CE = \sqrt{AB^2 - (AD - BE)^2}$. 
$CE = "16" = \sqrt{15^2 - (6 - 4)^2}$ 
$16 = \sqrt{225 - 2^2}$ 
$16 = \sqrt{225 - 4}$ 
$16 = \sqrt{221}$. 
Hasil ini tidak sesuai dengan soal, yang berarti ada kesalahan dalam pemahaman soal atau data yang diberikan.

Mari kita asumsikan bahwa yang dimaksud adalah garis singgung persekutuan dalam. Namun, gambar tidak menunjukkan hal tersebut.

Jika kita menganggap AD dan BE adalah jari-jari, maka AD = 6 cm dan BE = 4 cm. AB = 15 cm. CE = 16 cm.
Rumus panjang garis singgung persekutuan luar adalah: $c = \sqrt{d^2 - (R-r)^2}$, di mana c adalah panjang garis singgung persekutuan luar, d adalah jarak antara kedua pusat, R adalah jari-jari lingkaran besar, dan r adalah jari-jari lingkaran kecil.
Dalam kasus ini, $c = CE = 16$ cm, $d = AB = 15$ cm, $R = AD = 6$ cm, $r = BE = 4$ cm.
$16 = \sqrt{15^2 - (6 - 4)^2}$ 
$16 = \sqrt{225 - 2^2}$ 
$16 = \sqrt{225 - 4}$ 
$16 = \sqrt{221}$.
Ini kembali memberikan hasil yang tidak konsisten.

Mari kita coba hitung jika CE adalah garis singgung persekutuan dalam. Rumusnya adalah: $c = \sqrt{d^2 - (R+r)^2}$. 
$16 = \sqrt{15^2 - (6 + 4)^2}$ 
$16 = \sqrt{225 - 10^2}$ 
$16 = \sqrt{225 - 100}$ 
$16 = \sqrt{125}$.
Ini juga tidak konsisten.

Kemungkinan besar ada kesalahan pada data soal yang diberikan karena rumus standar untuk garis singgung persekutuan tidak cocok dengan nilai-nilai yang diberikan. Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan data yang ada dan mengabaikan konsistensi rumus, kita tidak dapat menghitung panjang DE dan CD tanpa informasi tambahan atau klarifikasi.

Mengacu pada gambar dan deskripsi, CED adalah garis singgung persekutuan kedua lingkaran. AD dan BE adalah jari-jari lingkaran yang tegak lurus dengan garis singgung. AB adalah jarak antara kedua pusat. AD = 6 cm, BE = 4 cm, CE = 16 cm, AB = 15 cm.

a. Panjang DE:
Kita perlu mencari panjang DE. Perhatikan trapesium ABED, dengan sisi AD sejajar BE (keduanya tegak lurus CE). Kita bisa memproyeksikan AB ke garis CE. Buat garis dari B sejajar AB memotong AD di titik H. Maka ABHD adalah persegi panjang jika AD=BE, tetapi ini tidak demikian. ADHE adalah trapesium siku-siku. Buat garis dari B sejajar CE, memotong AD di H. Maka ABED adalah trapesium. Buat garis dari B tegak lurus AD di H. Maka BH = AB sin(sudut DAB) dan AH = AB cos(sudut DAB). Ini tidak membantu.

Cara yang umum digunakan adalah dengan menarik garis dari B sejajar dengan CE, memotong AD di H. Maka ABED adalah trapesium siku-siku. BH = AB = 15. AH = AD - HD = AD - BE = 6 - 4 = 2. Dalam segitiga siku-siku BHA, $AB^2 = AH^2 + BH^2$? Ini salah karena BH bukan tegak lurus AH.

Metode yang benar: Tarik garis dari B sejajar dengan CE, memotong AD di H. Maka ABHE menjadi jajar genjang. Namun, ini hanya berlaku jika AD dan BE sejajar. Kita tahu AD dan BE tegak lurus CE, jadi AD sejajar BE. Maka ABED adalah trapesium siku-siku. Tarik garis dari B sejajar CE, memotong AD di H. Maka ABHE adalah jajar genjang, tetapi ini tidak benar. 

Metode yang benar adalah menarik garis dari B sejajar dengan CE, memotong perpanjangan AD di H. Ini untuk garis singgung persekutuan dalam. Untuk garis singgung persekutuan luar, tarik garis dari B sejajar dengan CE, memotong AD di H. Maka ABHD adalah jajar genjang, tapi ini tidak tepat. 

Cara standar: Tarik garis dari pusat lingkaran yang lebih kecil (B) sejajar dengan garis singgung persekutuan luar (CE), memotong jari-jari lingkaran yang lebih besar (AD) di titik H. Maka ABHE adalah persegi panjang jika AD = BE. AD = 6, BE = 4. AB = 15. CE = 16. AH = AD - DH = AD - BE = 6 - 4 = 2 cm. Segitiga ABH adalah siku-siku di H. Maka $AB^2 = AH^2 + BH^2$. $15^2 = 2^2 + BH^2$. $225 = 4 + BH^2$. $BH^2 = 221$. BH = $\sqrt{221}$. Karena BH sejajar CE, maka BH = CE = 16. Tapi $\sqrt{221}$ tidak sama dengan 16. Ini mengkonfirmasi bahwa data soal tidak konsisten.

Karena data soal tidak konsisten dengan rumus geometri untuk garis singgung persekutuan, tidak mungkin menghitung panjang DE dan CD dengan akurat. Jika kita mengabaikan inkonsistensi dan mengasumsikan bahwa CE = 16 adalah panjang garis singgung persekutuan luar yang benar, dan AB = 15 adalah jarak antar pusat, serta AD = 6 dan BE = 4 adalah jari-jari, maka soal ini tidak memiliki solusi geometris yang valid.

Jika kita mengabaikan nilai CE dan mencoba menghitungnya dari data lain: $CE = \sqrt{AB^2 - (AD-BE)^2} = \sqrt{15^2 - (6-4)^2} = \sqrt{225 - 4} = \sqrt{221} \approx 14.87$ cm.

Jika kita mengabaikan nilai AB dan mencoba menghitungnya: $AB = \sqrt{CE^2 + (AD-BE)^2} = \sqrt{16^2 + (6-4)^2} = \sqrt{256 + 4} = \sqrt{260} \approx 16.12$ cm.

Karena inkonsistensi data, jawaban untuk bagian a, b, dan c tidak dapat dihitung secara matematis berdasarkan prinsip geometri yang berlaku.