Pada gambar di bawah ini, PQ adalah garis singgung dari

30

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu memahami sifat-sifat segitiga dan garis singgung lingkaran. Diketahui bahwa PQ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di O. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan jari-jari lingkaran di titik singgung adalah 90 derajat. Namun, dalam soal ini, kita diberikan informasi tentang sudut-sudut dalam segitiga OQP. Diketahui sudut O = 2x dan sudut Q = x. Karena PQ adalah garis singgung, maka sudut OQP adalah sudut siku-siku jika OQ adalah jari-jari. Namun, PQ adalah garis singgung, bukan tali busur. Jika kita mengasumsikan bahwa segitiga OQP adalah segitiga siku-siku di Q (yang berarti OQ adalah jari-jari dan PQ adalah garis singgung), maka jumlah sudut dalam segitiga OQP adalah 180 derajat. Maka, sudut POQ + sudut OQP + sudut OPQ = 180. Jika OQ adalah jari-jari, maka sudut OQP = 90 derajat. Namun, informasi yang diberikan adalah sudut O=2x dan sudut Q=x. Ini menimbulkan ambiguitas karena sudut O biasanya merujuk pada sudut pusat, dan sudut Q merujuk pada sudut di titik Q pada garis singgung. Jika kita menginterpretasikan bahwa sudut yang dimaksud adalah sudut dalam segitiga yang dibentuk oleh titik pusat O, titik singgung P, dan titik Q pada garis singgung, dan bahwa OQ adalah jari-jari (sehingga sudut di Q adalah 90 derajat jika PQ adalah garis singgung di P), maka informasi sudut O=2x dan sudut Q=x tampaknya bertentangan. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa segitiga yang dimaksud adalah segitiga OXP di mana X adalah titik pada garis singgung sedemikian rupa sehingga OX adalah jari-jari, dan sudut OXP = 90 derajat, dan sudut pusat yang menghadap busur PX adalah sudut POX = 2x, dan sudut pada keliling yang menghadap busur yang sama adalah x. Akan tetapi, soal secara spesifik menyatakan PQ adalah garis singgung dan sudut O=2x, sudut Q=x. Mari kita asumsikan bahwa P adalah titik singgung, O adalah pusat, dan Q adalah titik lain sehingga membentuk segitiga OQP. Jika PQ adalah garis singgung di P, maka OP adalah jari-jari dan OP tegak lurus PQ, sehingga sudut OPQ = 90 derajat. Jika demikian, maka sudut POQ + sudut OQP + sudut OPQ = 180. Jadi, 2x + x + 90 = 180. Ini memberikan 3x = 90, sehingga x = 30. Mari kita periksa jika ini konsisten. Jika x = 30, maka sudut O = 2x = 60 derajat dan sudut Q = x = 30 derajat. Dalam segitiga OQP, jumlah sudutnya adalah 60 + 30 + 90 = 180 derajat. Ini konsisten. Oleh karena itu, besar sudut x adalah 30 derajat.