Pada gambar kubus berikut, titik M merupakan titik tengah

4akar(2) cm

Pembahasan

Untuk mencari jarak antara titik M dan garis AG pada kubus, kita perlu menggunakan teorema Pythagoras dan konsep proyeksi.
Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'. Dalam soal ini, a = 8 cm.
Titik M adalah titik tengah EH, sehingga EM = MH = a/2 = 4 cm.
Garis AG adalah diagonal ruang kubus.

Kita dapat memproyeksikan titik M ke bidang ABCD atau bidang ADGF. Namun, lebih mudah membayangkan segitiga siku-siku yang melibatkan M dan AG.

Salah satu pendekatan adalah dengan mencari jarak dari M ke salah satu titik pada AG, atau mencari jarak tegak lurus dari M ke garis AG.

Mari kita gunakan sistem koordinat:
A = (0, 0, 0)
B = (8, 0, 0)
C = (8, 8, 0)
D = (0, 8, 0)
E = (0, 0, 8)
F = (8, 0, 8)
G = (8, 8, 8)
H = (0, 8, 8)

Titik M adalah titik tengah EH. Koordinat E = (0, 0, 8) dan H = (0, 8, 8).
Koordinat M = ((0+0)/2, (0+8)/2, (8+8)/2) = (0, 4, 8).

Garis AG direpresentasikan oleh vektor arah AG = G - A = (8, 8, 8).
Titik pada garis AG dapat ditulis sebagai P(t) = A + t * AG = (0, 0, 0) + t * (8, 8, 8) = (8t, 8t, 8t), di mana 0 <= t <= 1.

Jarak kuadrat dari M ke sebuah titik P(t) pada garis AG adalah:
d^2 = (8t - 0)^2 + (8t - 4)^2 + (8t - 8)^2
d^2 = 64t^2 + (64t^2 - 64t + 16) + (64t^2 - 128t + 64)
d^2 = 192t^2 - 192t + 80

Untuk mencari jarak minimum, kita turunkan d^2 terhadap t dan setel sama dengan 0:
d(d^2)/dt = 384t - 192 = 0
384t = 192
t = 192 / 384 = 1/2

Substitusikan t = 1/2 kembali ke persamaan d^2:
d^2 = 192(1/2)^2 - 192(1/2) + 80
d^2 = 192(1/4) - 96 + 80
d^2 = 48 - 96 + 80
d^2 = 32

d = sqrt(32) = sqrt(16 * 2) = 4 * sqrt(2) cm.

Alternatif lain:
Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik M, proyeksi M pada bidang ABCD (yaitu titik O di tengah EF), dan titik A. Ini tidak langsung memberikan jarak ke AG. 

Cara lain adalah dengan melihat segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik M, titik P pada AG, dan titik A. 

Consider segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik M, titik di AG yang paling dekat dengan M, dan titik A. 

Consider the diagonal AC of the base ABCD. AC = sqrt(8^2 + 8^2) = 8*sqrt(2).
Consider the diagonal AG. AG = sqrt(8^2 + 8^2 + 8^2) = 8*sqrt(3).

Let's use the geometric approach with a specific right triangle.
Consider the diagonal EG of the top face EFGH. EG = 8*sqrt(2).
M is the midpoint of EH. EM = 4.
Consider triangle EMG. It is a right triangle at E. MG = sqrt(EM^2 + EG^2) = sqrt(4^2 + (8*sqrt(2))^2) = sqrt(16 + 128) = sqrt(144) = 12.
This is not helpful directly.

Let's consider the projection of M onto the plane containing AG and parallel to EH. This is getting complicated.

Back to the coordinate method, which is robust.
M = (0, 4, 8).
Line AG passes through (0,0,0) and (8,8,8). Direction vector is (1,1,1).
Parametric equation of line AG: x=t, y=t, z=t.
Let P = (t, t, t) be a point on AG.
Vector MP = (t-0, t-4, t-8) = (t, t-4, t-8).
For the shortest distance, MP must be perpendicular to the direction vector of AG, which is (1,1,1).
So, MP . (1,1,1) = 0
t*1 + (t-4)*1 + (t-8)*1 = 0
t + t - 4 + t - 8 = 0
3t - 12 = 0
3t = 12
t = 4.

The point on AG closest to M is P = (4, 4, 4).

The distance between M(0, 4, 8) and P(4, 4, 4) is:
d = sqrt((4-0)^2 + (4-4)^2 + (4-8)^2)
d = sqrt(4^2 + 0^2 + (-4)^2)
d = sqrt(16 + 0 + 16)
d = sqrt(32)
d = 4*sqrt(2) cm.