Pada interval 0<=x<=180, nilai maksimum dari f(x)=sin x+cos

$\sqrt{2}$

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi $f(x) = \sin x + \cos x$ pada interval $0 \le x \le 180^\circ$, kita dapat menggunakan beberapa metode:

**Metode 1: Mengubah ke Bentuk $R \sin(x + \alpha)$ atau $R \cos(x - \alpha)$**

Kita bisa mengubah bentuk $\sin x + \cos x$ menjadi bentuk $R \cos(x - \alpha)$ atau $R \sin(x + \alpha)$.
Misalkan $\sin x + \cos x = R \cos(x - \alpha)$.
Menggunakan identitas $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, maka:
$R \cos(x - \alpha) = R (\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$
$R \cos(x - \alpha) = (R \cos \alpha) \cos x + (R \sin \alpha) \sin x$

Menyamakan koefisien dengan $\sin x + \cos x$:
Koefisien $\cos x$: $R \cos \alpha = 1$
Koefisien $\sin x$: $R \sin \alpha = 1$

Untuk mencari R, kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan:
$(R \cos \alpha)^2 + (R \sin \alpha)^2 = 1^2 + 1^2$
$R^2 \cos^2 \alpha + R^2 \sin^2 \alpha = 1 + 1$
$R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2$
Karena $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, maka:
$R^2 = 2 
\implies R = \sqrt{2}$ (karena R adalah amplitudo, nilainya positif).

Untuk mencari $\alpha$, bagi kedua persamaan:
$(R \sin \alpha) / (R \cos \alpha) = 1 / 1$
$\tan \alpha = 1$
Karena $R \cos \alpha = 1$ (positif) dan $R \sin \alpha = 1$ (positif), maka $\alpha$ berada di kuadran I. Nilai $\alpha$ yang memenuhi $\tan \alpha = 1$ di kuadran I adalah $\alpha = 45^\circ$.

Jadi, $f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos(x - 45^\circ)$.

Nilai maksimum dari fungsi kosinus adalah 1. Oleh karena itu, nilai maksimum dari $\sqrt{2} \cos(x - 45^\circ)$ adalah $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$.

Nilai maksimum ini tercapai ketika $\cos(x - 45^\circ) = 1$.
Ini terjadi ketika $x - 45^\circ = 0^\circ + 360^\circ k$ atau $x - 45^\circ = 180^\circ + 360^\circ k$ (namun $\cos$ bernilai 1 di $0^\circ, 360^\circ,$ dll).
Jadi, $x - 45^\circ = 0^\circ 
\implies x = 45^\circ$.

Karena $x = 45^\circ$ berada dalam interval $0^\circ \le x \le 180^\circ$, maka nilai maksimumnya adalah $\sqrt{2}$.

**Metode 2: Menggunakan Turunan**

Untuk mencari nilai maksimum atau minimum, kita cari turunan pertama dari fungsi dan samakan dengan nol.
$f(x) = \sin x + \cos x$
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(\cos x)$
$f'(x) = \cos x - \sin x$

Samakan $f'(x)$ dengan nol untuk mencari titik stasioner:
$\cos x - \sin x = 0$
$\cos x = \sin x$

Bagi kedua sisi dengan $\cos x$ (dengan asumsi $\cos x \ne 0$):
$1 = \frac{\sin x}{\cos x}$
$\tan x = 1$

Pada interval $0^\circ \le x \le 180^\circ$, nilai $x$ yang memenuhi $\tan x = 1$ adalah $x = 45^\circ$ (karena $\tan x$ positif di kuadran I).

Sekarang kita perlu menguji nilai fungsi di titik stasioner ($x=45^\circ$) dan di ujung interval ($x=0^\circ$ dan $x=180^\circ$).

*   Di $x = 0^\circ$: $f(0^\circ) = \sin 0^\circ + \cos 0^\circ = 0 + 1 = 1$
*   Di $x = 45^\circ$: $f(45^\circ) = \sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
*   Di $x = 180^\circ$: $f(180^\circ) = \sin 180^\circ + \cos 180^\circ = 0 + (-1) = -1$

Membandingkan nilai-nilai tersebut:
Nilai maksimum adalah $\sqrt{2}$.
Nilai minimum adalah -1.

Jadi, nilai maksimum dari $f(x) = \sin x + \cos x$ pada interval $0 \le x \le 180^\circ$ adalah $\sqrt{2}$.

Nilai $\sqrt{2}$ kira-kira sama dengan $1.414$.