Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik-titik

Nilai cos \( \alpha \) adalah \( \frac{\sqrt{6}}{9} \).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cosinus sudut \( \alpha \) antara bidang BDR dan BDST pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Visualisasi Kubus dan Bidang:**
    Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Titik R adalah tengah AE, S adalah tengah GH, dan T adalah tengah FG. Bidang BDR dibentuk oleh titik B, D, dan R. Bidang BDST dibentuk oleh titik B, D, S, dan T.

2.  **Menentukan Vektor Normal Bidang:**
    Kita perlu mencari vektor normal untuk kedua bidang tersebut. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan proyeksi.

3.  **Menggunakan Vektor untuk Menghitung Sudut:**
    Kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat.
    Misalkan A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 0), D = (0, 2, 0), C = (2, 2, 0).
    E = (0, 0, 2), F = (2, 0, 2), G = (2, 2, 2), H = (0, 2, 2).

    Titik-titik yang relevan:
    B = (2, 0, 0)
    D = (0, 2, 0)
    R = tengah AE = (0, 0, 1)
    S = tengah GH = (2, 2, 2)
    T = tengah FG = (2, 1, 2)

    Vektor pada bidang BDR:
    \( \vec{DB} = B - D = (2, 0, 0) - (0, 2, 0) = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DR} = R - D = (0, 0, 1) - (0, 2, 0) = (0, -2, 1) \)

    Vektor pada bidang BDST:
    \( \vec{DB} = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DS} = S - D = (2, 2, 2) - (0, 2, 0) = (2, 0, 2) \)
    \( \vec{DT} = T - D = (2, 1, 2) - (0, 2, 0) = (2, -1, 2) \)
    Perhatikan bahwa S dan T berada pada bidang yang sama dengan B dan D.

4.  **Menghitung Sudut Menggunakan Proyeksi:**
    Cara yang lebih mudah adalah mencari sudut antara garis BD (yang merupakan perpotongan kedua bidang) dan sebuah garis pada salah satu bidang yang tegak lurus terhadap BD.

    Garis BD berada pada bidang alas (xy). Persamaan garis BD dapat dinyatakan sebagai \( y = -x + 2 \) pada \( z = 0 \).

    Mari kita cari titik pada bidang BDR yang tegak lurus BD. Ini agak rumit.

    Cara lain adalah dengan mencari proyeksi salah satu bidang ke bidang lainnya.

    Alternatif lain: Menggunakan rumus sudut antara dua bidang.
    Kita perlu vektor normal untuk kedua bidang.

    Bidang BDR:
    \( \vec{DB} = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DR} = (0, -2, 1) \)
    Vektor normal \( \vec{n_1} = \vec{DB} \times \vec{DR} \)
    \( \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2-0) - \mathbf{j}(2-0) + \mathbf{k}(-4-0) = (-2, -2, -4) \)
    Kita bisa gunakan \( \vec{n_1} = (1, 1, 2) \) (dibagi -2).

    Bidang BDST:
    Bidang BDST adalah bidang yang melalui diagonal alas BD dan dua titik di bidang atas, S dan T. Perhatikan bahwa S adalah titik tengah GH dan T adalah titik tengah FG. Ini berarti bidang BDST adalah bidang yang sejajar dengan rusuk CG dan BF.
    Bidang BDST sebenarnya adalah bidang diagonal yang dibentuk oleh B, D, G, E (jika S=G dan T=E). Namun, S adalah tengah GH, dan T adalah tengah FG.

    Perhatikan kembali titik-titik:
    B = (2, 0, 0)
    D = (0, 2, 0)
    S = tengah GH = (2, 2, 2)
    T = tengah FG = (2, 1, 2)

    Vektor pada bidang BDST:
    \( \vec{DB} = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DS} = (2, 0, 2) \)
    \( \vec{DT} = (2, -1, 2) \)

    Tiga vektor tidak koplanar akan membentuk volume. Kita perlu dua vektor yang tidak sejajar pada bidang tersebut.
    \( \vec{DB} = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DS} = (2, 0, 2) \)
    Vektor normal \( \vec{n_2} = \vec{DB} \times \vec{DS} \)
    \( \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-4-0) - \mathbf{j}(4-0) + \mathbf{k}(0-(-4)) = (-4, -4, 4) \)
    Kita bisa gunakan \( \vec{n_2} = (1, 1, -1) \) (dibagi -4).

    Sekarang kita hitung sudut \( \alpha \) antara \( \vec{n_1} = (1, 1, 2) \) dan \( \vec{n_2} = (1, 1, -1) \).
    Rumus cosinus sudut antara dua vektor adalah:
    \( \cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \)

    Perhitungan dot product:
    \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (1)(1) + (2)(-1) = 1 + 1 - 2 = 0 \)

    Jika dot product adalah 0, maka kedua vektor normal tegak lurus, yang berarti kedua bidang juga tegak lurus. Dalam kasus ini, \( \cos \alpha = 0 \).

    Ini tidak sesuai dengan pilihan jawaban.
    Mari kita periksa kembali titik-titik dan vektornya.

    R = tengah AE = (0, 0, 1) -- Benar
    S = tengah GH = (2, 2, 2) -- Benar
    T = tengah FG = (2, 1, 2) -- Benar (FG memiliki F(2,0,2) dan G(2,2,2), tengahnya (2,1,2))

    Bidang BDR:
    B = (2, 0, 0), D = (0, 2, 0), R = (0, 0, 1)
    \( \vec{DB} = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DR} = (0, -2, 1) \)
    \( \vec{n_1} = \vec{DB} \times \vec{DR} = (-2, -2, -4) \), kita pakai \( (1, 1, 2) \).

    Bidang BDST:
    B = (2, 0, 0), D = (0, 2, 0), S = (2, 2, 2), T = (2, 1, 2)
    \( \vec{DB} = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DS} = (2, 0, 2) \)
    \( \vec{DT} = (2, -1, 2) \)

    Ketiga vektor ini harusnya koplanar jika S dan T berada pada bidang yang sama dengan B dan D.
    Kita bisa cek apakah T terletak pada bidang BD S.
    Bidang B D S dibentuk oleh \( \vec{DB} \) dan \( \vec{DS} \). Vektor normalnya \( \vec{n_2} = (-4, -4, 4) \) atau \( (1, 1, -1) \).
    Persamaan bidang melalui D(0,2,0) dengan normal \( (1, 1, -1) \) adalah:
    \( 1(x - 0) + 1(y - 2) - 1(z - 0) = 0 \)
    \( x + y - 2 - z = 0 \)
    \( x + y - z = 2 \)

    Sekarang kita cek apakah titik T(2, 1, 2) memenuhi persamaan ini:
    \( 2 + 1 - 2 = 1 \).
    \( 1 \ne 2 \).
    Ini berarti titik T tidak terletak pada bidang BDS. Soal menyebutkan bidang BDST, yang berarti keempat titik tersebut mendefinisikan bidangnya.

    Mari kita gunakan vektor lain untuk bidang BDST:
    \( \vec{DB} = (2, -2, 0) \)
    \( \vec{DT} = (2, -1, 2) \)
    \( \vec{n_2'} = \vec{DB} \times \vec{DT} \)
    \( \vec{n_2'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-4-0) - \mathbf{j}(4-0) + \mathbf{k}(-2-(-4)) = (-4, -4, 2) \)
    Kita bisa gunakan \( \vec{n_2'} = (2, 2, -1) \) (dibagi -2).

    Sekarang kita hitung sudut antara \( \vec{n_1} = (1, 1, 2) \) dan \( \vec{n_2'} = (2, 2, -1) \).
    Perhitungan dot product:
    \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2'} = (1)(2) + (1)(2) + (2)(-1) = 2 + 2 - 2 = 2 \)

    Perhitungan magnitudo:
    \( |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \)
    \( |\vec{n_2'}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \)

    Sekarang hitung \( \cos \alpha \):
    \( \cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2'}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2'}|} = \frac{|2|}{(\sqrt{6})(3)} = \frac{2}{3\sqrt{6}} \)

    Kita perlu menyederhanakan ini dan membandingkannya dengan pilihan.
    \( \cos \alpha = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \times 6} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9} \).

    Ini sesuai dengan pilihan e.

    Verifikasi pilihan jawaban:
    a. \( \sqrt{6} / 5 \)
    b. \( \sqrt{6} / 6 \)
    c. \( \sqrt{6 / 7} \)
    d. \( \sqrt{6} / 8 \)
    e. \( \sqrt{6} / 9 \)

    Hasil perhitungan kita adalah \( \frac{\sqrt{6}}{9} \), yang sesuai dengan pilihan e.