Pada segitiga ABC, diketahui b=2 a dan c=3/2 a Tentukan

α ≈ 28.96°, β ≈ 104.48°, γ ≈ 46.56°

Pembahasan

Pada segitiga ABC, diketahui sisi b = 2a dan sisi c = 3/2 a. Kita diminta untuk menentukan besar sudut alfa (∠A), beta (∠B), dan gamma (∠C).
Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan aturan kosinus.
Aturan kosinus menyatakan:
a² = b² + c² - 2bc cos(α)
b² = a² + c² - 2ac cos(β)
c² = a² + b² - 2ab cos(γ)

Kita substitusikan nilai b dan c ke dalam rumus:
b² = a² + c² - 2ac cos(β)
(2a)² = a² + (3/2 a)² - 2 * a * (3/2 a) cos(β)
4a² = a² + 9/4 a² - 3a² cos(β)
4a² = (4/4 a² + 9/4 a²) - 3a² cos(β)
4a² = 13/4 a² - 3a² cos(β)

Kita bisa membagi kedua sisi dengan a² (karena a adalah panjang sisi, a ≠ 0):
4 = 13/4 - 3 cos(β)
4 - 13/4 = -3 cos(β)
16/4 - 13/4 = -3 cos(β)
3/4 = -3 cos(β)
cos(β) = (3/4) / (-3)
cos(β) = -1/4

Sekarang kita cari sudut β menggunakan kalkulator:
β = arccos(-1/4) ≈ 104.48°

Selanjutnya, kita cari sudut α menggunakan aturan kosinus:
a² = b² + c² - 2bc cos(α)
a² = (2a)² + (3/2 a)² - 2 * (2a) * (3/2 a) cos(α)
a² = 4a² + 9/4 a² - 6a² cos(α)
a² = (16/4 a² + 9/4 a²) - 6a² cos(α)
a² = 25/4 a² - 6a² cos(α)

Bagi kedua sisi dengan a²:
1 = 25/4 - 6 cos(α)
1 - 25/4 = -6 cos(α)
4/4 - 25/4 = -6 cos(α)
-21/4 = -6 cos(α)
cos(α) = (-21/4) / (-6)
cos(α) = 21/24
cos(α) = 7/8

Sekarang kita cari sudut α menggunakan kalkulator:
α = arccos(7/8) ≈ 28.96°

Terakhir, kita cari sudut γ. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°.
γ = 180° - α - β
γ = 180° - 28.96° - 104.48°
γ = 180° - 133.44°
γ ≈ 46.56°

Jadi, besar sudut-sudutnya adalah:
α ≈ 28.96°
β ≈ 104.48°
γ ≈ 46.56°