Pada suatu kelompok terdapat 15 orang hobi berenang dan 20

Dengan asumsi tidak ada irisan, ada 20 orang yang tidak hobi keduanya.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan konsep himpunan dan prinsip inklusi-eksklusi.

Diketahui:
Jumlah total anggota kelompok = 55 orang.
Jumlah orang yang hobi berenang = 15 orang.
Jumlah orang yang hobi catur = 20 orang.

Misalkan:
A = himpunan orang yang hobi berenang.
B = himpunan orang yang hobi catur.

Kita tahu bahwa |A| = 15 dan |B| = 20.
Jumlah total anggota kelompok adalah semesta, $|	ext{Semesta}| = 55$.

Kita perlu mencari jumlah orang yang tidak hobi keduanya. Ini berarti kita perlu mencari orang di luar gabungan A dan B, yaitu $|	ext{Semesta}| - |A 	ext{ } igcup 	ext{ } B|$.

Namun, soal ini tidak memberikan informasi mengenai berapa banyak orang yang hobi keduanya (irisan A dan B, $|A 	ext{ } igcap 	ext{ } B|$). Tanpa informasi ini, kita tidak dapat menghitung $|A 	ext{ } igcup 	ext{ } B|$ menggunakan rumus $|A 	ext{ } igcup 	ext{ } B| = |A| + |B| - |A 	ext{ } igcap 	ext{ } B|$.

Asumsi:
Jika kita mengasumsikan bahwa tidak ada orang yang hobi keduanya (yaitu, himpunan orang yang hobi berenang dan himpunan orang yang hobi catur adalah saling lepas, atau $|A 	ext{ } igcap 	ext{ } B| = 0$), maka:
$|A 	ext{ } igcup 	ext{ } B| = |A| + |B| - 0 = 15 + 20 = 35$ orang.

Dalam kasus ini, jumlah orang yang tidak hobi keduanya adalah:
$|	ext{Semesta}| - |A 	ext{ } igcup 	ext{ } B| = 55 - 35 = 20$ orang.

Namun, jika ada kemungkinan orang yang hobi keduanya, maka jumlah orang yang tidak hobi keduanya akan berbeda.
Misalnya, jika 5 orang hobi keduanya ($|A 	ext{ } igcap 	ext{ } B| = 5$), maka:
$|A 	ext{ } igcup 	ext{ } B| = 15 + 20 - 5 = 30$ orang.
Jumlah orang yang tidak hobi keduanya = $55 - 30 = 25$ orang.

Karena soal tidak memberikan informasi irisan, kita tidak bisa memberikan jawaban pasti. Namun, jika diasumsikan himpunan yang hobi berenang dan catur saling lepas, maka jawabannya adalah 20 orang. 

Untuk memberikan jawaban yang paling mungkin berdasarkan informasi yang ada dan umum dalam soal semacam ini, seringkali diasumsikan bahwa informasi yang diberikan sudah cukup untuk menemukan jawaban, yang berarti kita mungkin perlu mempertimbangkan kemungkinan irisan. Akan tetapi, tanpa informasi irisan, kita tidak bisa melanjutkan.

Jika soal ini mengimplikasikan bahwa jumlah kelompok 55 orang itu adalah total dari mereka yang hobi berenang, hobi catur, DAN mereka yang tidak hobi keduanya, maka kita memerlukan informasi tambahan. Kemungkinan lain adalah, soal ini kurang lengkap.

Mari kita coba pendekatan lain: jika 55 adalah jumlah TOTAL orang, dan di dalamnya ada yang suka renang, ada yang suka catur, dan ada yang tidak suka keduanya. Kita butuh informasi irisan.

Jika soal ingin menyiratkan bahwa tidak ada irisan, maka:
Total = (Hobi Renang saja) + (Hobi Catur saja) + (Hobi keduanya) + (Tidak hobi keduanya)

Dalam kasus ini, tanpa informasi irisan, kita tidak bisa menyelesaikan soal ini.

Namun, jika soal ini adalah soal pilihan ganda dan ada opsi yang masuk akal, kita bisa mencoba menebak asumsi pembuat soal. Tapi karena ini bukan pilihan ganda, kita harus menyatakan bahwa informasi tidak cukup atau membuat asumsi yang jelas.

Mari kita buat asumsi bahwa soal ini mengacu pada Prinsip Inklusi-Eksklusi standar di mana irisan perlu diperhitungkan jika diketahui.

Karena tidak ada informasi tentang irisan (berapa orang yang hobi keduanya), maka soal ini tidak dapat diselesaikan dengan informasi yang diberikan.

Namun, jika kita berasumsi bahwa 15 orang hobi berenang dan 20 orang hobi catur adalah jumlah TOTAL orang yang memiliki hobi tersebut (termasuk yang mungkin memiliki kedua hobi), dan bahwa tidak ada orang yang tidak hobi keduanya, maka jumlah totalnya adalah 15 + 20 = 35 orang. Tetapi ini bertentangan dengan jumlah kelompok 55 orang.

Asumsi yang paling mungkin adalah bahwa soal ini meminta kita untuk mencari orang yang TIDAK termasuk dalam KEDUA kategori tersebut.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini seharusnya memberikan informasi tentang irisan, atau bahwa 55 adalah jumlah total dan kita harus mencari yang di luar kedua grup tersebut.

Mari kita coba baca ulang soal: "Jika jumlah kelompok tersebut 55 orang, tentukan banyak orang yang tidak hobi keduanya." Ini menyiratkan bahwa 55 adalah total semesta.

Misalkan:
N(A) = 15 (hobi renang)
N(B) = 20 (hobi catur)
N(Total) = 55

Kita perlu mencari N(A' $igcap$ B') = N((A $igcup$ B)').
Menurut hukum De Morgan, (A $igcup$ B)' = A' $igcap$ B'.
Jadi, kita perlu mencari N(Total) - N(A $igcup$ B).

N(A $igcup$ B) = N(A) + N(B) - N(A $igcap$ B)
N(A $igcup$ B) = 15 + 20 - N(A $igcap$ B)
N(A $igcup$ B) = 35 - N(A $igcap$ B)

Jumlah orang yang tidak hobi keduanya = 55 - (35 - N(A $igcap$ B))
Jumlah orang yang tidak hobi keduanya = 55 - 35 + N(A $igcap$ B)
Jumlah orang yang tidak hobi keduanya = 20 + N(A $igcap$ B)

Karena N(A $igcap$ B) tidak diketahui, kita tidak bisa mendapatkan jawaban tunggal.
Namun, nilai minimum untuk N(A $igcap$ B) adalah 0 (jika tidak ada yang punya kedua hobi).
Nilai maksimum untuk N(A $igcap$ B) adalah minimum dari N(A) dan N(B), yaitu min(15, 20) = 15.

Jadi, jumlah orang yang tidak hobi keduanya bisa berkisar antara:
Jika N(A $igcap$ B) = 0, maka jumlah tidak hobi keduanya = 20 + 0 = 20 orang.
Jika N(A $igcap$ B) = 15, maka jumlah tidak hobi keduanya = 20 + 15 = 35 orang.

Soal ini kemungkinan besar mengasumsikan bahwa tidak ada irisan, atau ada informasi yang hilang.
Jika diasumsikan tidak ada irisan:
Jumlah orang yang tidak hobi keduanya adalah 20.

Mari kita coba cari sumber soal serupa untuk memahami asumsi standar. Dalam banyak soal tingkat dasar, jika irisan tidak disebutkan, seringkali diasumsikan 0 atau ada informasi yang hilang.

Jika kita harus memberikan jawaban, dan asumsi paling sederhana adalah tidak ada irisan:
Jawaban: 20 orang.

Jika kita harus memberikan jawaban yang lebih mendalam:
Soal ini tidak dapat diselesaikan tanpa mengetahui jumlah orang yang memiliki kedua hobi tersebut.

Mari kita coba buat satu jawaban yang paling masuk akal dengan asumsi irisan nol:

Penjelasan: Kita diberikan jumlah total anggota kelompok adalah 55 orang. Sebanyak 15 orang hobi berenang dan 20 orang hobi catur. Kita ingin mencari jumlah orang yang tidak memiliki kedua hobi tersebut. 
Misalkan A adalah himpunan orang yang hobi berenang, dan B adalah himpunan orang yang hobi catur. Diketahui |A| = 15 dan |B| = 20. Jumlah total anggota adalah 55. Kita perlu mencari jumlah orang yang tidak berada di A maupun di B, yaitu $|(A 	ext{ } igcup 	ext{ } B)'|$.

Menurut prinsip inklusi-eksklusi, $|A 	ext{ } igcup 	ext{ } B| = |A| + |B| - |A 	ext{ } igcap 	ext{ } B|$.
Jumlah orang yang tidak hobi keduanya adalah $|Total| - |A 	ext{ } igcup 	ext{ } B| = 55 - (|A| + |B| - |A 	ext{ } igcap 	ext{ } B|)$.
Ini menjadi $55 - (15 + 20 - |A 	ext{ } igcap 	ext{ } B|) = 55 - 35 + |A 	ext{ } igcap 	ext{ } B| = 20 + |A 	ext{ } igcap 	ext{ } B|$.

Karena nilai $|A 	ext{ } igcap 	ext{ } B|$ (jumlah orang yang hobi keduanya) tidak diketahui, soal ini tidak dapat diselesaikan secara pasti. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa tidak ada orang yang memiliki kedua hobi tersebut (yaitu, $|A 	ext{ } igcap 	ext{ } B| = 0$), maka jumlah orang yang tidak hobi keduanya adalah $20 + 0 = 20$ orang.

Ringkasan Jawaban: Dengan asumsi tidak ada orang yang memiliki kedua hobi, maka ada 20 orang yang tidak hobi keduanya.