Pada tahun ajaran baru, Ali mewakili beberapa temannya
Pertanyaan
Pada tahun ajaran baru, Ali mewakili beberapa temannya untuk membeli 5 buah buku Matematika dan 4 buah buku Biologi. Ali harus membayar sejumlah Rp241.000,00. Pada saat yang hampir bersamaan, Badu mewakili teman-teman yang lainnya, membeli 10 buah buku Matematika dan 6 buah buku Biologi. Badu harus membayar sejumlah Rp434.000,00. Misalkan harga satu buah buku Matematika adalah x rupiah dan harga satu buah buku Biologi adalah y rupiah. a. Buatlah model matematika dari masalah tersebut dalam bentuk SPLDV dalam variabel x dan variabel y. b. Tentukan penyelesaian SPLDV yang diperoleh pada a) dengan menggunakan metode invers matriks. c. Berdasarkan jawaban b), berapakah harga satu buah buku Matematika dan berapakah harga satu buah buku Biologi?
Solusi
Harga buku Matematika Rp29.000, harga buku Biologi Rp24.000.
Pembahasan
a. Membuat model matematika dari masalah tersebut dalam bentuk SPLDV: Misalkan harga satu buah buku Matematika = x rupiah Misalkan harga satu buah buku Biologi = y rupiah Dari informasi pertama (Ali): 5 buku Matematika + 4 buku Biologi = Rp241.000,00 Model: 5x + 4y = 241.000 Dari informasi kedua (Badu): 10 buku Matematika + 6 buku Biologi = Rp434.000,00 Model: 10x + 6y = 434.000 Jadi, sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yang diperoleh adalah: 1) 5x + 4y = 241.000 2) 10x + 6y = 434.000 b. Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan metode invers matriks: Bentuk matriks dari SPLDV tersebut adalah AX = B, di mana: A = [[5, 4], [10, 6]] X = [[x], [y]] B = [[241000], [434000]] Untuk mencari X, kita gunakan rumus X = A⁻¹B. Langkah 1: Cari determinan matriks A (det(A)). det(A) = (5 * 6) - (4 * 10) = 30 - 40 = -10 Langkah 2: Cari invers matriks A (A⁻¹). A⁻¹ = (1 / det(A)) * [[d, -b], [-c, a]] A⁻¹ = (1 / -10) * [[6, -4], [-10, 5]] A⁻¹ = [[-0.6, 0.4], [1, -0.5]] Langkah 3: Hitung X = A⁻¹B. X = [[-0.6, 0.4], [1, -0.5]] * [[241000], [434000]] x = (-0.6 * 241000) + (0.4 * 434000) x = -144600 + 173600 x = 29000 y = (1 * 241000) + (-0.5 * 434000) y = 241000 - 217000 y = 24000 c. Menentukan harga satu buah buku Matematika dan satu buah buku Biologi: Dari hasil perhitungan metode invers matriks: Harga satu buah buku Matematika (x) = Rp29.000,00 Harga satu buah buku Biologi (y) = Rp24.000,00 Verifikasi: 5x + 4y = 5(29000) + 4(24000) = 145000 + 96000 = 241000 (Benar) 10x + 6y = 10(29000) + 6(24000) = 290000 + 144000 = 434000 (Benar)
Buka akses pembahasan jawaban