Pada trapesium ABCD, rusuk AB sejajar rusuk DC dan rasio

3:5

Pembahasan

Pada trapesium ABCD, diketahui AB sejajar DC. Misalkan tinggi trapesium adalah t.
Luas segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AB * t.
Luas segitiga ACD = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * DC * t.
Diberikan rasio luas segitiga ABC terhadap luas segitiga ACD adalah 1:3.
(1/2 * AB * t) / (1/2 * DC * t) = 1/3
AB / DC = 1/3
Ini berarti panjang sisi AB adalah 1/3 dari panjang sisi DC. Atau, DC = 3 * AB.
Titik E adalah titik tengah BC, dan titik F adalah titik tengah DA.
Kita perlu mencari rasio luas ABEF terhadap luas EFDC.
ABEF adalah sebuah segiempat yang dibentuk oleh menghubungkan titik-titik A, B, E, F. EFDC adalah sebuah segiempat yang dibentuk oleh menghubungkan titik-titik E, F, D, C.
Karena E dan F adalah titik tengah sisi-sisi yang tidak sejajar, maka EF adalah garis penghubung titik tengah.
Panjang EF = 1/2 * (AB + DC).
Karena DC = 3 AB, maka EF = 1/2 * (AB + 3 AB) = 1/2 * (4 AB) = 2 AB.
Sekarang kita perlu mencari luas ABEF dan EFDC. Ini bisa menjadi rumit tanpa mengetahui koordinat atau sudut trapesium.
Namun, ada sifat penting dari garis penghubung titik tengah pada trapesium. Garis EF membagi trapesium menjadi dua trapesium yang lebih kecil, yaitu ABEF dan EFDC.
Jika AB sejajar DC, dan EF adalah garis penghubung titik tengah BC dan DA, maka EF juga sejajar dengan AB dan DC.
Luas ABEF dapat dihitung sebagai jumlah luas segitiga ABF dan segitiga BEF. Atau, kita bisa melihat ABEF sebagai trapesium dengan sisi sejajar AB dan EF, dan tinggi tertentu.
Misalkan kita proyeksikan titik B dan C ke garis DC. Misalkan tinggi trapesium adalah h.
Luas ABEF = Luas Segitiga ABF + Luas Segitiga BFE.
Ini bisa jadi rumit. Mari kita gunakan sifat garis penghubung titik tengah.
Luas trapesium = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi.
Luas ABEF = 1/2 * (AB + EF) * h1, di mana h1 adalah tinggi trapesium ABEF.
Luas EFDC = 1/2 * (EF + DC) * h2, di mana h2 adalah tinggi trapesium EFDC.
Karena EF adalah garis tengah, tinggi trapesium ABEF (dari A ke EF) dan tinggi trapesium EFDC (dari F ke DC) tidak sama dengan tinggi keseluruhan trapesium.
Namun, ada teorema yang menyatakan bahwa jika EF adalah garis penghubung titik tengah sisi-sisi yang tidak sejajar pada trapesium, maka EF membagi tinggi trapesium menjadi dua bagian yang sama jika trapesium tersebut sama kaki. Namun, ini tidak disebutkan.
Mari kita gunakan properti lain. Jika kita membagi trapesium ABCD menjadi dua segitiga dengan diagonal AC, kita punya segitiga ABC dan ACD. Rasio luasnya adalah 1:3.
Luas ABC / Luas ACD = 1/3.
Karena kedua segitiga memiliki tinggi yang sama (dari B ke AC dan dari D ke AC, jika kita gunakan diagonal AC sebagai alas), maka rasio alasnya harus sama dengan rasio luasnya. Ini berarti bahwa jika kita menganggap AC sebagai alas, maka jarak dari B ke AC berbanding dengan jarak dari D ke AC adalah 1:3. Ini tidak membantu langsung.
Kembali ke AB sejajar DC dan AB/DC = 1/3.
EF = 2 AB.
DC = 3 AB.
Sekarang kita lihat trapesium ABEF. Sisi sejajarnya adalah AB dan EF. AB = AB, EF = 2 AB.
Dan trapesium EFDC. Sisi sejajarnya adalah EF dan DC. EF = 2 AB, DC = 3 AB.
Jika kita mengasumsikan bahwa trapesium ini adalah trapesium siku-siku dengan tinggi t (jarak antara AB dan DC), dan misalkan A=(0,t), B=(a,t), D=(0,0), C=(3a,0). Maka AB=a, DC=3a.
Titik tengah BC: E = ((a+3a)/2, (t+0)/2) = (2a, t/2).
Titik tengah DA: F = ((0+0)/2, (t+0)/2) = (0, t/2).
Sekarang, mari kita hitung luas ABEF dan EFDC.
ABEF adalah trapesium dengan sisi sejajar AB (panjang a) dan EF. Garis EF menghubungkan (0, t/2) dan (2a, t/2). Jadi EF sejajar sumbu x dengan panjang 2a.
ABEF memiliki sisi sejajar AB (di y=t, panjang a) dan EF (di y=t/2, panjang 2a). Tinggi trapesium ABEF adalah t - t/2 = t/2.
Luas ABEF = 1/2 * (AB + EF) * (tinggi ABEF)
Luas ABEF = 1/2 * (a + 2a) * (t/2) = 1/2 * (3a) * (t/2) = 3at / 4.
EFDC adalah trapesium dengan sisi sejajar EF (panjang 2a) dan DC (di y=0, panjang 3a). Tinggi trapesium EFDC adalah t/2 - 0 = t/2.
Luas EFDC = 1/2 * (EF + DC) * (tinggi EFDC)
Luas EFDC = 1/2 * (2a + 3a) * (t/2) = 1/2 * (5a) * (t/2) = 5at / 4.
Sekarang kita cari rasio luas ABEF terhadap luas EFDC.
Rasio = Luas ABEF / Luas EFDC
Rasio = (3at / 4) / (5at / 4)
Rasio = 3/5.
Perlu dicatat bahwa ini berlaku untuk trapesium siku-siku. Namun, sifat garis penghubung titik tengah pada sisi yang tidak sejajar adalah independen dari sudutnya, selama AB sejajar DC.
Mari kita verifikasi sifat EF = 1/2 (AB+DC).
AB sejajar DC. EF adalah garis penghubung titik tengah BC dan DA. Maka EF sejajar AB dan DC.
Panjang EF = (AB+DC)/2. Ini adalah teorema garis penghubung titik tengah pada trapesium.
Jadi EF = (AB + 3AB)/2 = 4AB/2 = 2AB.
Sekarang kita perlu membuktikan bahwa rasio luasnya adalah 3:5.
Luas ABEF. Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar AB dan EF. AB = x, EF = (x+3x)/2 = 2x. Misalkan tinggi dari A ke EF adalah h1 dan dari EF ke DC adalah h2. Maka h1+h2 = t (tinggi total).
Luas EFDC. Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar EF dan DC. EF = 2x, DC = 3x.
Ada sebuah teorema yang mengatakan bahwa garis penghubung titik tengah sisi-sisi yang tidak sejajar pada trapesium membagi tinggi trapesium menjadi dua sama rata jika trapesium tersebut sama kaki. Namun, kita tidak diberitahu bahwa trapesium ini sama kaki.
Namun, jika kita melihat luas ABEF dan EFDC sebagai trapesium dengan tinggi yang sama (karena EF membagi tinggi trapesium asli menjadi dua bagian), maka rasio luasnya akan sebanding dengan jumlah sisi sejajarnya.
Jika EF membagi tinggi trapesium menjadi dua sama rata, maka h1 = h2 = t/2.
Luas ABEF = 1/2 * (AB + EF) * (t/2) = 1/2 * (x + 2x) * (t/2) = 1/2 * (3x) * (t/2) = 3xt/4.
Luas EFDC = 1/2 * (EF + DC) * (t/2) = 1/2 * (2x + 3x) * (t/2) = 1/2 * (5x) * (t/2) = 5xt/4.
Rasio = (3xt/4) / (5xt/4) = 3/5.
Namun, apakah EF selalu membagi tinggi trapesium menjadi dua sama rata?
Ya, teorema tentang garis penghubung titik tengah sisi-sisi yang tidak sejajar pada trapesium menyatakan bahwa garis tersebut sejajar dengan sisi-sisi sejajar dan panjangnya adalah rata-rata dari panjang sisi-sisi sejajar. Mengenai pembagian tinggi, ini akan terjadi jika trapesium tersebut sama kaki, atau jika kita melihatnya dari perspektif yang berbeda.
Mari kita lihat segitiga BCD dan ABD. Jika AB sejajar DC, maka segitiga ABC dan ABD memiliki alas yang sama (AB) dan tinggi yang sama, sehingga luasnya sama. Luas ABC = Luas ABD.
Kita diberikan Luas ABC / Luas ACD = 1/3.
Luas ABC = 1/3 Luas ACD.
Karena Luas ABC = Luas ABD, maka Luas ABD = 1/3 Luas ACD.
Total luas trapesium ABCD = Luas ABC + Luas ACD = Luas ABD + Luas BCD.
Luas ABCD = Luas ABC + Luas ACD.
Luas ABCD = Luas ABD + Luas BCD.
Jika Luas ABC = L, maka Luas ACD = 3L.
Luas ABCD = L + 3L = 4L.
Karena Luas ABC = Luas ABD = L, maka Luas BCD = Luas ABCD - Luas ABD = 4L - L = 3L.
Jadi, Luas ABC = L, Luas ACD = 3L, Luas ABD = L, Luas BCD = 3L.
Ini konsisten. AB/DC = 1/3.
Sekarang mari kita gunakan titik tengah.
E titik tengah BC, F titik tengah DA.
Kita ingin rasio Luas ABEF / Luas EFDC.
Luas ABEF = Luas segitiga ABF + Luas segitiga BEF.
Luas EFDC = Luas segitiga EFC + Luas segitiga FDC.
Ini masih rumit.
Mari kita kembali ke sifat EF membagi trapesium menjadi dua trapesium yang luasnya sebanding dengan jumlah sisi sejajarnya jika tingginya sama.
AB = x, EF = 2x, DC = 3x.
Jika tinggi ABEF = h1 dan tinggi EFDC = h2, maka:
Luas ABEF = 1/2 (x + 2x) h1 = 3/2 x h1.
Luas EFDC = 1/2 (2x + 3x) h2 = 5/2 x h2.
Rasio = (3/2 x h1) / (5/2 x h2) = (3 h1) / (5 h2).
Kita perlu mengetahui rasio h1/h2.
Dalam trapesium ABCD dengan AB || DC, dan F titik tengah AD, E titik tengah BC.
Luas ABEF dan EFDC. EF adalah garis penghubung titik tengah sisi tidak sejajar.
Luas ABEF + Luas EFDC = Luas ABCD.
Jika AB sejajar DC, maka vektor AF = 1/2 AD, vektor BE = 1/2 BC.
Ada sebuah teorema yang menyatakan bahwa rasio luas trapesium yang dibentuk oleh garis penghubung titik tengah sisi-sisi yang tidak sejajar adalah sebagai berikut:
Luas ABEF / Luas EFDC = (AB + EF) / (EF + DC) jika tinggi kedua trapesium sama.
Dan tinggi kedua trapesium adalah sama, yaitu h1 = h2 = t/2, di mana t adalah tinggi total trapesium ABCD.
Ini karena EF adalah garis median yang sejajar dengan alas.
Jadi, Luas ABEF = 1/2 * (AB + EF) * (t/2).
Luas EFDC = 1/2 * (EF + DC) * (t/2).
Rasio Luas ABEF / Luas EFDC = (AB + EF) / (EF + DC).
Kita tahu AB = x, EF = 2x, DC = 3x.
Rasio = (x + 2x) / (2x + 3x) = 3x / 5x = 3/5.
Jadi, rasio luas ABEF terhadap luas EFDC adalah 3:5.