Pedagang kue membeli kue jenis A seharga Rp 300.00 per buah

Model matematika: Maksimalkan K = 200x + 150y dengan kendala x + y ≤ 45, x + 2y ≤ 60, x ≥ 0, y ≥ 0. Banyaknya kue agar untung maksimum: 45 kue jenis A dan 0 kue jenis B. Keuntungan maksimum: Rp 9000.

Pembahasan

Mari kita pecah permasalahan ini menjadi beberapa bagian:

**1. Membuat Model Matematika**

*   **Variabel Keputusan:**
    Misalkan:
    x = banyaknya kue jenis A yang dibeli
    y = banyaknya kue jenis B yang dibeli

*   **Fungsi Tujuan (Keuntungan Maksimum):
    Keuntungan = (Keuntungan per kue A * jumlah kue A) + (Keuntungan per kue B * jumlah kue B)
    Keuntungan (K) = 200x + 150y
    Kita ingin memaksimalkan K.

*   **Fungsi Kendala:**
    a.  **Kendala Jumlah Kue:** Pedagang hanya dapat menjual tidak lebih dari 45 kue.
        x + y ≤ 45
    b.  **Kendala Modal:** Modal yang tersedia adalah Rp 18.000,00.
        (Harga per kue A * jumlah kue A) + (Harga per kue B * jumlah kue B) ≤ Modal
        300x + 600y ≤ 18000
        Kita bisa sederhanakan dengan membagi semua dengan 300:
        x + 2y ≤ 60
    c.  **Kendala Non-negatif:** Jumlah kue tidak bisa negatif.
        x ≥ 0
        y ≥ 0

Jadi, model matematikanya adalah:
Maksimalkan K = 200x + 150y
Dengan kendala:
1.  x + y ≤ 45
2.  x + 2y ≤ 60
3.  x ≥ 0
4.  y ≥ 0

**2. Menentukan Banyaknya Kue untuk Keuntungan Maksimum (Metode Garis Selidik)**

Untuk menggunakan metode garis selidik, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut.

*   **Garis 1:** x + y = 45
    *   Jika x = 0, maka y = 45. Titik (0, 45)
    *   Jika y = 0, maka x = 45. Titik (45, 0)

*   **Garis 2:** x + 2y = 60
    *   Jika x = 0, maka 2y = 60 => y = 30. Titik (0, 30)
    *   Jika y = 0, maka x = 60. Titik (60, 0)

*   **Titik Potong Garis 1 dan Garis 2:**
    Kita selesaikan sistem persamaan:
    x + y = 45  => x = 45 - y
    x + 2y = 60
    Substitusikan x dari persamaan pertama ke persamaan kedua:
    (45 - y) + 2y = 60
    45 + y = 60
    y = 60 - 45
    y = 15
    Sekarang cari x:
    x = 45 - y = 45 - 15 = 30
    Titik potongnya adalah (30, 15).

*   **Titik Pojok Daerah Penyelesaian:**
    Daerah penyelesaian dibatasi oleh x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 45, dan x + 2y ≤ 60.
    Titik pojoknya adalah:
    a.  Titik (0, 0)
    b.  Titik perpotongan sumbu y dengan garis kendala yang lebih rendah (yaitu, x + 2y = 60 => (0, 30))
    c.  Titik perpotongan sumbu x dengan garis kendala yang lebih rendah (yaitu, x + y = 45 => (45, 0))
    d.  Titik potong kedua garis kendala: (30, 15).

*   **Uji Titik Pojok pada Fungsi Tujuan (K = 200x + 150y):**
    a.  Titik (0, 0): K = 200(0) + 150(0) = 0
    b.  Titik (0, 30): K = 200(0) + 150(30) = 4500
    c.  Titik (45, 0): K = 200(45) + 150(0) = 9000
    d.  Titik (30, 15): K = 200(30) + 150(15) = 6000 + 2250 = 8250

Dari hasil pengujian, keuntungan maksimum diperoleh pada titik (30, 15).

Jadi, pedagang harus membeli 30 kue jenis A dan 15 kue jenis B.

**3. Menghitung Keuntungan Maksimumnya**

Keuntungan maksimum adalah nilai K pada titik pojok yang memberikan nilai K terbesar.

Keuntungan maksimum = Rp 9000,00 (terjadi saat membeli 45 kue jenis A dan 0 kue jenis B).

**Revisi Perhitungan Titik Pojok:**
Mari kita periksa kembali kendala dan daerah penyelesaian.
*   x + y ≤ 45
*   x + 2y ≤ 60
*   x ≥ 0, y ≥ 0

Titik-titik pojok yang valid adalah:
1.  (0,0)
2.  Perpotongan x=0 dengan x+y=45 -> (0,45)
3.  Perpotongan y=0 dengan x+2y=60 -> (60,0) - tapi ini tidak memenuhi x+y<=45, jadi kita ambil perpotongan y=0 dengan x+y=45 -> (45,0)
4.  Perpotongan x=0 dengan x+2y=60 -> (0,30)
5.  Titik potong x+y=45 dan x+2y=60 yaitu (30,15)

Titik-titik pojok yang valid adalah: (0,0), (45,0), (0,30), dan (30,15).

Sekarang kita uji lagi:
*   (0,0): K = 0
*   (45,0): K = 200(45) + 150(0) = 9000
*   (0,30): K = 200(0) + 150(30) = 4500
*   (30,15): K = 200(30) + 150(15) = 6000 + 2250 = 8250

Kesimpulan yang benar adalah keuntungan maksimum terjadi pada titik (45, 0).

Jadi, pedagang harus membeli 45 kue jenis A dan 0 kue jenis B untuk memperoleh keuntungan maksimum.