Penyelesaian dari harga mutlak 2/(1+x) <=|x| adalah

x \leq -2 atau x \geq 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak $\frac{2}{|1+x|} \leq |x|$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai-nilai $x$ yang membuat penyebut dan ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol.

Kasus 1: $1+x > 0$ (yaitu, $x > -1$) dan $x \geq 0$.
Dalam kasus ini, $|1+x| = 1+x$ dan $|x| = x$. Pertidaksamaan menjadi $\frac{2}{1+x} \leq x$.
Karena $x \geq 0$, maka $1+x > 0$. Kita dapat mengalikan kedua sisi dengan $1+x$ tanpa mengubah arah pertidaksamaan:
$2 \leq x(1+x)$
$2 \leq x + x^2$
$x^2 + x - 2 \geq 0$
$(x+2)(x-1) \geq 0$.
Solusi untuk pertidaksamaan kuadrat ini adalah $x \leq -2$ atau $x \geq 1$.
Karena kita berada dalam kasus $x \geq 0$, maka solusi yang memenuhi adalah $x \geq 1$.

Kasus 2: $1+x > 0$ (yaitu, $x > -1$) dan $x < 0$.
Dalam kasus ini, $|1+x| = 1+x$ dan $|x| = -x$. Pertidaksamaan menjadi $\frac{2}{1+x} \leq -x$.
Karena $x < 0$, maka $1+x$ bisa positif atau negatif. Namun, kita sudah menetapkan $x > -1$, jadi $1+x > 0$. Kita dapat mengalikan kedua sisi dengan $1+x$:
$2 \leq -x(1+x)$
$2 \leq -x - x^2$
$x^2 + x + 2 \leq 0$.
Untuk memeriksa solusi pertidaksamaan kuadrat ini, kita lihat diskriminannya: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.
Karena diskriminan negatif dan koefisien $x^2$ positif, maka $x^2 + x + 2$ selalu positif untuk semua nilai $x$. Oleh karena itu, tidak ada solusi untuk $x^2 + x + 2 \leq 0$.

Kasus 3: $1+x < 0$ (yaitu, $x < -1$) dan $x < 0$.
Dalam kasus ini, $|1+x| = -(1+x)$ dan $|x| = -x$. Pertidaksamaan menjadi $\frac{2}{-(1+x)} \leq -x$.
$-\frac{2}{1+x} \leq -x$.
Karena $x < -1$, maka $1+x < 0$. Mengalikan kedua sisi dengan $1+x$ akan membalikkan arah pertidaksamaan:
$-2 \geq -x(1+x)$
$-2 \geq -x - x^2$
$x^2 + x - 2 \geq 0$.
$(x+2)(x-1) \geq 0$.
Solusi untuk pertidaksamaan kuadrat ini adalah $x \leq -2$ atau $x \geq 1$.
Karena kita berada dalam kasus $x < -1$, maka solusi yang memenuhi adalah $x \leq -2$.

Menggabungkan semua kasus:
Dari Kasus 1, kita mendapatkan $x \geq 1$.
Dari Kasus 2, tidak ada solusi.
Dari Kasus 3, kita mendapatkan $x \leq -2$.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak $\frac{2}{|1+x|} \leq |x|$ adalah $x \leq -2$ atau $x \geq 1$.