Penyelesaian dari (x^2-3x-18)/(x-6)^2(x-2)<0 adalah . . . .

x < -3 atau 2 < x < 6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (x^2-3x-18)/(x-6)^2(x-2)<0, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut.

Pembilang: x^2 - 3x - 18 = (x-6)(x+3)
Akar-akar pembilang adalah x=6 dan x=-3.

Penyebut: (x-6)^2(x-2)
Akar-akar penyebut adalah x=6 (akar kembar) dan x=2.

Penting untuk dicatat bahwa penyebut tidak boleh nol, sehingga x =/= 6 dan x =/= 2.

Sekarang kita punya akar-akar penting pada garis bilangan: -3, 2, dan 6.

Kita uji interval:
1. x < -3: Pilih x = -4.  (-4-6)(-4+3)/(-4-6)^2(-4-2) = (-10)(-1)/(100)(-6) = 10/-600 < 0. (Memenuhi)
2. -3 < x < 2: Pilih x = 0.  (0-6)(0+3)/(0-6)^2(0-2) = (-6)(3)/(36)(-2) = -18/-72 > 0. (Tidak memenuhi)
3. 2 < x < 6: Pilih x = 3.  (3-6)(3+3)/(3-6)^2(3-2) = (-3)(6)/(9)(1) = -18/9 < 0. (Memenuhi)
4. x > 6: Pilih x = 7.  (7-6)(7+3)/(7-6)^2(7-2) = (1)(10)/(1)(5) = 10/5 > 0. (Tidak memenuhi)

Perhatikan bahwa x=6 adalah akar dari pembilang dan penyebut (akar kembar). Namun, karena ada (x-6)^2 di penyebut, nilai x=6 tidak pernah membuat pertidaksamaan menjadi nol atau tidak terdefinisi dalam konteks tanda. Namun, karena penyebut tidak boleh nol, x=6 tetap menjadi batas.

Oleh karena itu, penyelesaiannya adalah x < -3 atau 2 < x < 6.