Penyelesaian pertaksamaan ((x + 3)/(x - 1)) >= x adalah

Penyelesaiannya adalah x ∈ [-1, 1) ∪ [3, ∞).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\(x + 3)/(x - 1)) >= x\), kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan perbandingan dengan nol:
\(\(x + 3)/(x - 1)) - x >= 0
Samakan penyebutnya:
\(\(x + 3 - x(x - 1))/(x - 1)) >= 0
\(\(x + 3 - x^2 + x)/(x - 1)) >= 0
\(\( -x^2 + 2x + 3)/(x - 1)) >= 0
Kalikan dengan -1 dan balik tanda pertidaksamaan:
\(\(x^2 - 2x - 3)/(x - 1)) <= 0
Faktorkan pembilangnya:
\(\( (x - 3)(x + 1))/(x - 1)) <= 0

Sekarang kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut:
- Akar pembilang: x = 3 dan x = -1
- Akar penyebut: x = 1

Perhatikan bahwa x = 1 tidak termasuk dalam penyelesaian karena menyebabkan penyebut bernilai nol.

Selanjutnya, kita uji tanda pada interval yang dibentuk oleh akar-akar ini: (-∞, -1), (-1, 1), (1, 3), dan (3, ∞).

1. Interval x < -1 (misal x = -2):
\(\( (-2 - 3)(-2 + 1))/(-2 - 1)) = \(\( (-5)(-1))/(-3)) = \(\(5)/(-3)) < 0. Ini memenuhi pertidaksamaan.

2. Interval -1 < x < 1 (misal x = 0):
\(\( (0 - 3)(0 + 1))/(0 - 1)) = \(\( (-3)(1))/(-1)) = \(\(3)/(-1)) = -3 < 0. Ini memenuhi pertidaksamaan.

3. Interval 1 < x < 3 (misal x = 2):
\(\( (2 - 3)(2 + 1))/(2 - 1)) = \(\( (-1)(3))/(1)) = \(\( -3)/1)) = -3 < 0. Ini memenuhi pertidaksamaan.

4. Interval x > 3 (misal x = 4):
\(\( (4 - 3)(4 + 1))/(4 - 1)) = \(\( (1)(5))/(3)) = \(\(5)/3)) > 0. Ini tidak memenuhi pertidaksamaan.

Karena pertidaksamaan adalah '\((x^2 - 2x - 3)/(x - 1)) <= 0\)', kita mencari interval di mana nilainya negatif atau nol. Akar pembilang x = 3 dan x = -1 termasuk dalam penyelesaian karena pertidaksamaannya '<= 0'. Akar penyebut x = 1 tidak termasuk.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan ini adalah x ∈ [-1, 1) ∪ [3, ∞).