Penyelesaian pertidaksamaan (x+3)/(x-1)>=x adalah ...

$x \le -1$ atau $1 < x \le 3$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x+3}{x-1} \ge x$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi agar sisi lainnya menjadi nol, lalu mencari penyelesaiannya.

Langkah 1: Pindahkan x ke sisi kiri.
$$ \frac{x+3}{x-1} - x \ge 0 $$

Langkah 2: Samakan penyebutnya.
$$ \frac{x+3}{x-1} - \frac{x(x-1)}{x-1} \ge 0 $$
$$ \frac{x+3 - (x^2 - x)}{x-1} \ge 0 $$
$$ \frac{x+3 - x^2 + x}{x-1} \ge 0 $$
$$ \frac{-x^2 + 2x + 3}{x-1} \ge 0 $$

Langkah 3: Faktorkan pembilang.
Kita cari akar-akar dari $-x^2 + 2x + 3 = 0$. Dengan mengalikan -1, menjadi $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Faktorkan menjadi $(x-3)(x+1) = 0$.
Jadi, akar-akarnya adalah $x=3$ dan $x=-1$.

Pembilang menjadi $-(x-3)(x+1)$.
Pertidaksamaan menjadi:
$$ \frac{-(x-3)(x+1)}{x-1} \ge 0 $$

Langkah 4: Tentukan titik-titik kritis pada garis bilangan.
Titik-titik kritis adalah nilai x yang membuat pembilang atau penyebut sama dengan nol. Titik-titik tersebut adalah $x=3$, $x=-1$ (dari pembilang), dan $x=1$ (dari penyebut, yang tidak boleh nol).

Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini: $(-\infty, -1]$, $[-1, 1)$, $(1, 3]$, $[3, \infty)$. Perhatikan bahwa $x=1$ tidak termasuk karena membuat penyebut nol.

*   Uji interval $x < -1$ (misal $x=-2$):
    $$ \frac{-(-2)^2 + 2(-2) + 3}{-2-1} = \frac{-4 - 4 + 3}{-3} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \ge 0 $$ (Benar)

*   Uji interval $-1 < x < 1$ (misal $x=0$):
    $$ \frac{-(0)^2 + 2(0) + 3}{0-1} = \frac{3}{-1} = -3 \ge 0 $$ (Salah)

*   Uji interval $1 < x < 3$ (misal $x=2$):
    $$ \frac{-(2)^2 + 2(2) + 3}{2-1} = \frac{-4 + 4 + 3}{1} = \frac{3}{1} = 3 \ge 0 $$ (Benar)

*   Uji interval $x > 3$ (misal $x=4$):
    $$ \frac{-(4)^2 + 2(4) + 3}{4-1} = \frac{-16 + 8 + 3}{3} = \frac{-5}{3} \ge 0 $$ (Salah)

Langkah 5: Tentukan penyelesaiannya.
Pertidaksamaan $\frac{-x^2 + 2x + 3}{x-1} \ge 0$ terpenuhi pada interval $x \le -1$ dan $1 < x \le 3$.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan $\frac{x+3}{x-1} \ge x$ adalah $x \le -1$ atau $1 < x \le 3$.