Perhatikan daerah diarsir pada diagram Venn berikut. Daerah

Daerah yang diarsir adalah $(P \\cap R) \\cap Q^c$, yang secara matematis setara dengan $(P \\cap R) \\cap (Q^c \\cap R)$ atau $(P \\cap R) \\cap Q^c \\cap R$.

Pembahasan

Diagram Venn yang diarsir menunjukkan daerah yang merupakan anggota himpunan P dan R, tetapi bukan anggota himpunan Q. Dengan kata lain, daerah yang diarsir adalah irisan dari P dan R, yang kemudian diiriskan lagi dengan komplemen dari Q (yaitu, daerah di luar Q).

Mari kita analisis setiap pilihan:
a. (P ∩ R) ∩ (Q ∪ R): Ini adalah irisan dari (P irisan R) dengan (Q gabungan R). Ini akan mencakup daerah yang ada di P dan R, dan juga ada di Q atau R. Ini tidak sesuai.
b. (P ∩ R) ∪ (Q ∩ R): Ini adalah gabungan dari (P irisan R) dengan (Q irisan R). Ini akan mencakup daerah yang ada di P dan R, ATAU di Q dan R. Ini tidak sesuai.
c. (P ∩ R) ∩ (Qᶜ ∪ R): Ini adalah irisan dari (P irisan R) dengan (komplemen Q gabungan R). Komplemen Q (Qᶜ) adalah semua elemen di luar Q. (Qᶜ ∪ R) berarti elemen yang tidak ada di Q atau ada di R. Jika kita mengiriskan ini dengan (P ∩ R), kita akan mendapatkan bagian dari P dan R yang tidak ada di Q (karena R sudah termasuk dalam Qᶜ ∪ R jika elemen tersebut ada di R). Ini mendekati, tetapi belum tentu tepat.
d. (P ∩ R) ∩ (Qᶜ ∩ R): Ini adalah irisan dari (P irisan R) dengan (komplemen Q irisan R). (Qᶜ ∩ R) berarti elemen yang tidak ada di Q tetapi ada di R. Jika kita mengiriskan ini dengan (P ∩ R), maka kita mendapatkan elemen yang ada di P, ada di R, dan tidak ada di Q. Ini sesuai dengan daerah yang diarsir, yang merupakan bagian dari P dan R tetapi di luar Q.

Perlu diperhatikan bahwa notasi R^c sama dengan Qᶜ. Jadi pilihan c seharusnya (P ∩ R) ∩ (Qᶜ ∪ R) dan pilihan d seharusnya (P ∩ R) ∩ (Qᶜ ∩ R).

Berdasarkan penggambaran umum diagram Venn, daerah yang diarsir biasanya menunjukkan elemen yang berada di P dan R, tetapi TIDAK berada di Q. Ini secara tepat direpresentasikan sebagai $(P \\cap R) \\setminus Q$ atau $(P \\cap R) \\cap Q^c$.

Melihat pilihan yang ada, kita perlu memastikan representasi yang paling akurat.

Pilihan d: $(P \\cap R) \\cap (Q^c \\cap R)$. Karena irisan bersifat asosiatif dan komutatif, ini sama dengan $(P \\cap R \\cap Q^c \\cap R)$. Karena irisan dengan dirinya sendiri tidak mengubah himpunan, maka $(P \\cap R \\cap Q^c \\cap R) = (P \\cap R \\cap Q^c)$. Ini adalah representasi yang benar untuk daerah yang ada di P dan R tetapi tidak ada di Q.

Mari kita periksa kembali pilihan c: $(P \\cap R) \\cap (Q^c \\cup R)$. Jika suatu elemen ada di R, maka ia pasti ada di $(Q^c \\cup R)$. Jadi $(P \\cap R) \\cap (Q^c \\cup R)$ akan sama dengan $(P \\cap R)$ jika semua elemen di $(P \\cap R)$ juga ada di R. Ini berarti $(P \\cap R) \\cap (Q^c \\cup R) = P \\cap R$. Ini jelas tidak sesuai dengan daerah yang diarsir yang berada di luar Q.

Oleh karena itu, pilihan d adalah yang paling tepat.