Perhatikan gambar berikut. A T B C 5 6 cm 6 cm 6 cm Ruas

$2\sqrt{3}$ cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik A ke bidang TBC, kita perlu menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang dan teorema Pythagoras atau rumus volume limas.

Diketahui:
- Titik A adalah titik sudut pertemuan tiga ruas garis AT, AB, dan AC.
- Ruas AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A. Ini berarti A adalah puncak dari limas siku-siku.
- Panjang AT = AB = AC = 6 cm.
- Kita ingin mencari jarak titik A ke bidang TBC.

Bidang TBC dibentuk oleh titik-titik T, B, dan C. Karena AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A, maka bidang ABC adalah bidang alas (misalnya di bidang xy), AT adalah tinggi sepanjang sumbu z.

Langkah 1: Visualisasikan geometri.
Kita dapat menempatkan titik A pada titik asal (0,0,0) dalam sistem koordinat Kartesius.
- A = (0,0,0)
- Karena AB tegak lurus di A, kita bisa letakkan B di sumbu x: B = (6,0,0)
- Karena AC tegak lurus di A dan AB, kita bisa letakkan C di sumbu y: C = (0,6,0)
- Karena AT tegak lurus di A dan AB, AC, kita bisa letakkan T di sumbu z: T = (0,0,6)

Bidang TBC adalah bidang yang melalui titik T(0,0,6), B(6,0,0), dan C(0,6,0).

Langkah 2: Cari persamaan bidang TBC.
Persamaan umum bidang adalah $ax + by + cz = d$.
Karena bidang melalui T(0,0,6), maka $c(6) = d$, sehingga $d = 6c$.
Karena bidang melalui B(6,0,0), maka $a(6) = d$, sehingga $d = 6a$.
Karena bidang melalui C(0,6,0), maka $b(6) = d$, sehingga $d = 6b$.
Dari sini kita dapatkan $6a = 6b = 6c = d$. Kita bisa memilih $a=b=c=1$, maka $d=6$. 
Jadi, persamaan bidang TBC adalah $x + y + z = 6$.

Langkah 3: Hitung jarak titik A(0,0,0) ke bidang $x + y + z - 6 = 0$.
Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah:
$$ 	ext{Jarak} = rac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$ 

Dalam kasus ini, $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$ dan bidangnya adalah $1x + 1y + 1z - 6 = 0$, sehingga $A=1, B=1, C=1, D=-6$.

$$ 	ext{Jarak} = rac{|1(0) + 1(0) + 1(0) - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} $$ 
$$ 	ext{Jarak} = rac{|-6|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{3}} $$ 

Langkah 4: Rasionalkan penyebut.
$$ 	ext{Jarak} = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $$ 

Jadi, jarak titik A terhadap bidang TBC adalah $2\sqrt{3}$ cm.

Alternatif menggunakan volume limas:
Volume limas T.ABC dapat dihitung dengan dua cara:
1. Alas segitiga siku-siku ABC, tinggi AT.
   Luas alas $\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ cm$^2$.
   Volume $= \frac{1}{3} \times \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi} = \frac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36$ cm$^3$.

2. Alas segitiga TBC, tinggi adalah jarak A ke bidang TBC (misalkan $h$).
   Volume $= \frac{1}{3} \times \text{Luas } \triangle TBC \times h$.

Kita perlu mencari luas segitiga TBC. Sisi-sisi segitiga TBC adalah TB, TC, BC.
$TB^2 = TA^2 + AB^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \implies TB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.
$TC^2 = TA^2 + AC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \implies TC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \implies BC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.

Karena TB = TC = BC, segitiga TBC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $s = 6\sqrt{2}$ cm.
Luas segitiga sama sisi $= \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$.
Luas $\triangle TBC = \frac{(6\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(36 \times 2) \sqrt{3}}{4} = \frac{72 \sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}$ cm$^2$.

Sekarang samakan kedua rumus volume:
$36 = \frac{1}{3} \times 18\sqrt{3} \times h$
$36 = 6\sqrt{3} \times h$
$$ h = \frac{36}{6\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $$ 

Kedua metode memberikan hasil yang sama.