Perhatikan gambar berikut. D Q C P A B Pada persegi panjang

Jawaban bergantung pada interpretasi posisi P dan Q serta apa yang dimaksud dengan PQ (vektor atau panjang). Jika P pada AB dengan AP:PB=4:1 dan Q pada DC dengan DQ:QC=1:2, maka PQ = -2/3 u + 4/5 v.

Pembahasan

Untuk mencari panjang PQ, kita perlu menggunakan konsep vektor pada gambar persegi panjang ABCD.

Diketahui:
u = DC, v = BC
BC:PC = 1:4
DQ:QC = 1:2

Kita bisa menyatakan vektor posisi titik-titik relatif terhadap titik A sebagai titik asal (0,0).
Misalkan AB sejajar sumbu x dan AD sejajar sumbu y.

Jika panjang AB = |u| dan panjang BC = |v|:
A = (0,0)
B = (|u|, 0)
C = (|u|, |v|)
D = (0, |v|)

Karena BC:PC = 1:4, maka PC = 4 * BC = 4|v|. Titik P terletak pada garis CD. Vektor CD = D - C = (0, |v|) - (|u|, |v|) = (-|u|, 0).
Titik P dapat dinyatakan sebagai C + t * CD, di mana t adalah skalar.
Karena P terletak pada garis CD, dan PC adalah sebagian dari CD, kita perlu meninjau ulang informasi rasio BC:PC.

Kemungkinan interpretasi lain dari rasio BC:PC = 1:4 adalah perbandingan panjang segmen garis. Jika P adalah titik pada garis CD, maka:

Mari kita gunakan vektor:

$\\vec{AB} = u$
$\\vec{BC} = v$
$\\vec{AD} = v$
$\\vec{DC} = u$

$\\vec{AC} = \\vec{AB} + \\vec{BC} = u + v$
$\\vec{AD} = \\vec{BC} = v$
$\\vec{DC} = \\vec{AB} = u$

Titik P pada garis DC sedemikian rupa sehingga BC:PC = 1:4. Ini agak membingungkan karena BC adalah vektor sisi dan PC adalah segmen garis pada sisi yang berbeda. Asumsikan maksudnya adalah perbandingan panjang.

Jika kita mengasumsikan P terletak pada DC dan panjang PC = 4 * panjang BC = 4|v|, ini tidak mungkin karena panjang DC adalah |u|. Mari kita asumsikan rasio tersebut berkaitan dengan pembagian segmen.

Mari kita asumsikan P terletak pada garis CD sedemikian rupa sehingga panjang CP = 4 * panjang BC. Ini masih tidak konsisten dengan P berada pada DC kecuali jika ABCD adalah persegi panjang khusus dan ada kesalahan penulisan.

Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan dan rasio yang dimaksud adalah pada segmen garis.

Jika BC:PC = 1:4 dan P ada di DC, ini tidak mungkin. 

Asumsikan BC:CQ = 1:4 (pada sisi CD, Q adalah titik). Jika DQ:QC = 1:2, maka total bagian adalah 1+2=3. QC = (2/3)DC = (2/3)u. DQ = (1/3)u.

Asumsikan rasio BC:PC = 1:4 berkaitan dengan pembagian segmen pada garis yang sama atau sejajar.

Mari kita coba interpretasi lain:
Pada persegi panjang ABCD, $\\vec{AB} = u$, $\\vec{BC} = v$. Maka $\\vec{AD} = v$ dan $\\vec{DC} = u$.

Titik P pada DC. Rasio BC:PC = 1:4. Jika ini adalah perbandingan panjang, maka $|v|:|PC| = 1:4$, sehingga $|PC| = 4|v|$. Ini tidak mungkin jika P berada pada DC, karena panjang DC adalah $|u|$.

Kemungkinan lain: rasio berkaitan dengan pembagian vektor. Misalkan P membagi DC.

Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan pada soal dan coba gunakan informasi DQ:QC=1:2 pada sisi DC. Ini berarti $\\vec{DQ} = (1/3)\\vec{DC} = (1/3)u$ dan $\\vec{QC} = (2/3)\\vec{DC} = (2/3)u$.

Sekarang, mari kita lihat rasio BC:PC = 1:4. Jika P ada di CD, dan rasio ini adalah perbandingan panjang, maka ini masih bermasalah.

Jika kita mengasumsikan P terletak pada perpanjangan DC atau di C, atau di D.

Mari kita asumsikan bahwa P terletak pada garis DC.

Jika BC:PC = 1:4, dan BC = v, maka PC = 4v. Ini adalah panjang. 

Jika P terletak pada garis DC, maka $\\vec{DP} = k \\vec{DC} = k u$ untuk suatu skalar k.
$\\vec{PC} = \\vec{DC} - \\vec{DP} = u - k u = (1-k)u$.
Panjang $|PC| = |1-k| |u|$.

Kita punya $|v|:|PC| = 1:4 
ightarrow |PC| = 4|v|$.
Jadi, $|1-k| |u| = 4|v|$. Ini membutuhkan hubungan antara $|u|$ dan $|v|$ yang tidak diberikan, atau bahwa P tidak terletak pada DC.

Mari kita fokus pada informasi DQ:QC=1:2.
Ini berarti Q membagi DC menjadi 3 bagian sama panjang. $\\vec{DQ} = (1/3)u$, $\\vec{QC} = (2/3)u$.

Sekarang, mari kita coba menginterpretasikan rasio BC:PC = 1:4. Jika P adalah titik pada garis AD, maka $\\vec{AP} = \\vec{AD} = v$. Rasio BC:AP = 1:4 --> $|v|:|v| = 1:4$, salah.

Mari kita asumsikan P adalah titik pada BC. Maka $\\vec{BP} = k \\vec{BC} = k v$. Rasio BC:BP = 1:4 --> $|v|:|BP| = 1:4$, $|BP| = 4|v|$. Tidak mungkin jika P pada BC.

Mari kita asumsikan P ada di AB. $\\vec{AP} = k \\vec{AB} = k u$. Rasio BC:AP = 1:4 --> $|v|:|AP| = 1:4$, $|AP| = 4|v|$.

Kemungkinan besar, P dan Q adalah titik pada sisi-sisi persegi panjang.

D Q C
P
A B

Jika P ada di AB, dan BC:PC = 1:4. Ini membingungkan karena PC bukan segmen yang jelas.

Asumsikan P ada di AB dan Q ada di DC.
DQ:QC = 1:2 --> $\\vec{DQ} = (1/3)u$. Q membagi DC.
BC:PC = 1:4. Jika P ada di AB, maka $\\vec{AP} = k u$. $\\vec{PB} = (1-k)u$. Rasio BC:PC = 1:4. Ini masih tidak jelas.

Mari kita coba interpretasi yang paling masuk akal dari gambar yang diasumsikan:
ABCD adalah persegi panjang.
Q terletak pada DC sedemikian rupa sehingga DQ:QC = 1:2. Maka $\\vec{DQ} = (1/3) \\vec{DC} = (1/3)u$. $\\vec{QC} = (2/3)u$.

P terletak pada AB sedemikian rupa sehingga AP:PB = x:y. Rasio BC:PC = 1:4. Ini masih membingungkan.

Mari kita asumsikan P terletak pada sisi AD.
Jika P pada AD, $\\vec{AP} = k \\vec{AD} = k v$. Rasio BC:AP = 1:4 --> $|v|:|AP| = 1:4$, $|AP| = 4|v|$. Jika $k=4$, maka P adalah titik di luar AD.

Mari kita asumsikan P terletak pada sisi AB dan Q pada sisi BC.
Q pada BC: BQ:QC = 1:4 --> $\\vec{BQ} = (1/5)v$. $\\vec{QC} = (4/5)v$. Ini bertentangan dengan DQ:QC.

Kembali ke gambar yang diberikan:
D Q C
P
A B

Ini menyiratkan bahwa P ada di antara A dan B, atau di luar segmen AB.
Q ada di antara D dan C, atau di luar segmen DC.

Asumsikan P ada di AB dan Q ada di DC.
DQ:QC = 1:2 => $\\vec{DQ} = (1/3)u$. $\\vec{Q} = D + (1/3)u = (0, |v|) + (1/3)(|u|, 0) = (1/3|u|, |v|)$.
Untuk P di AB, $\\vec{AP} = k u$. $\\vec{P} = A + k u = (0,0) + k(|u|, 0) = (k|u|, 0)$.
Rasio BC:PC = 1:4. $\\vec{BC} = v = (0, |v|)$. $\\vec{PC} = C - P = (|u|, |v|) - (k|u|, 0) = ((1-k)|u|, |v|)$.
$|BC| = |v|$. $|PC| = \\sqrt{((1-k)|u|)^2 + |v|^2}$.
$|v| / \\sqrt{((1-k)|u|)^2 + |v|^2} = 1/4$
$4|v| = \\sqrt{((1-k)|u|)^2 + |v|^2}$
$16|v|^2 = ((1-k)|u|)^2 + |v|^2$
$15|v|^2 = ((1-k)|u|)^2$
$sqrt(15)|v| = |1-k||u|$.
Ini masih bergantung pada $|u|$ dan $|v|$.

Mari kita asumsikan soal tersebut meminta $\\vec{PQ}$ dalam bentuk u dan v, bukan panjangnya.

Jika P pada AB, maka $\\vec{AP} = k u$. $\\vec{P} = k u$.
Jika Q pada DC, $\\vec{DQ} = (1/3) u$. $\\vec{Q} = D + (1/3) u = v + (1/3) u$.
$\\vec{PQ} = \\vec{Q} - \\vec{P} = (v + (1/3)u) - ku = v + (1/3 - k)u$.
Ini masih bergantung pada k.

Mari kita asumsikan P terletak pada AD. $\\vec{AP} = k v$. Rasio BC:AP = 1:4 --> $|v|:|AP| = 1:4$, $|AP| = 4|v|$. $\\vec{AP} = 4v$. Ini berarti P tidak pada AD.

Mari kita lihat soalnya lagi. D Q C P A B
Ini adalah urutan titik-titik. Mungkin ABCD adalah persegi panjang.

DQ:QC = 1:2. Q membagi DC. $\\vec{DQ} = (1/3) \\vec{DC} = (1/3)u$.
BC:PC = 1:4. P membagi BC. $\\vec{BP} = (1/5) \\vec{BC} = (1/5)v$. Maka $\\vec{PC} = (4/5)v$.

Jika ini interpretasinya:
$\\vec{A} = 0$
$\\vec{B} = u$
$\\vec{C} = u + v$
$\\vec{D} = v$

Q pada DC, $\\vec{DQ} = (1/3)u$. $\\vec{Q} = D + \\vec{DQ} = v + (1/3)u$.
P pada BC, $\\vec{BP} = (1/5)v$. $\\vec{P} = B + \\vec{BP} = u + (1/5)v$.

$\\vec{PQ} = \\vec{Q} - \\vec{P} = (v + (1/3)u) - (u + (1/5)v)$
$\\vec{PQ} = v + (1/3)u - u - (1/5)v$
$\\vec{PQ} = (1/3 - 1)u + (1 - 1/5)v$
$\\vec{PQ} = (-2/3)u + (4/5)v$

Ini adalah vektor PQ. Soal meminta PQ, yang bisa berarti panjang atau vektor. Jika vektor, maka jawabannya adalah $-2/3 u + 4/5 v$.

Mari kita periksa interpretasi lain dari D Q C P A B.
Ini bisa jadi urutan titik-titik di sepanjang garis.

Jika gambar adalah persegi panjang ABCD, dan titik Q di DC, P di AB.
DQ:QC = 1:2 => $\\vec{DQ} = (1/3)u$.
Jika P di AB, dan rasio BC:PC = 1:4. Ini masih membingungkan.

Mari kita gunakan interpretasi di mana P dan Q adalah titik pada sisi-sisi yang berhadapan.
Misalkan P pada AB dan Q pada DC.
DQ:QC = 1:2 $\implies$ $\\vec{DQ} = \\frac{1}{3} \\vec{DC} = \\frac{1}{3} u$. $\\vec{Q} = D + \\frac{1}{3} u = v + \\frac{1}{3} u$. (Mengambil A sebagai titik asal)

Sekarang, rasio BC:PC = 1:4. Jika P pada AB, maka $\\vec{AP} = k \\vec{AB} = k u$. $\\vec{P} = k u$.
$\\vec{PC} = C - P = (u+v) - k u = (1-k) u + v$.
$|BC| = |v|$. $|PC| = |(1-k) u + v|$.
$|v| : |(1-k) u + v| = 1:4$
$4|v| = |(1-k) u + v|$
$16|v|^2 = |(1-k) u + v|^2$
$16|v|^2 = ((1-k)u + v) . ((1-k)u + v)$
$16|v|^2 = (1-k)^2 |u|^2 + 2(1-k)(u.v) + |v|^2$
Karena ABCD persegi panjang, u tegak lurus v, maka u.v = 0.
$16|v|^2 = (1-k)^2 |u|^2 + |v|^2$
$15|v|^2 = (1-k)^2 |u|^2$
$\\sqrt{15}|v| = |1-k||u|$. Ini masih memerlukan $|u|$ dan $|v|$.

Mari kita coba interpretasi lain:
Misalkan P pada AD dan Q pada BC.
DQ:QC = 1:2. Q pada BC. $\\vec{BQ} = k v$. $\\vec{QC} = (1-k)v$. Rasio DQ:QC = 1:2. Ini salah karena DQ adalah segmen pada sisi yang berbeda.

Mari kita kembali ke interpretasi:
P pada AB, Q pada DC.
DQ:QC = 1:2 $\implies$ $\\vec{DQ} = \\frac{1}{3} u$. $\\vec{Q} = v + \\frac{1}{3} u$.

Sekarang, mari kita lihat rasio BC:PC = 1:4. Jika P pada AB, ini mungkin berarti perbandingan panjang AP:PB atau BP:PA.
Atau, P bisa jadi titik lain.

Jika P pada garis AB, maka $\\vec{AP} = k u$. $\\vec{P} = k u$. $\\vec{BP} = (1-k)u$.
Jika P ada di antara A dan B, 0 < k < 1.

Jika P adalah titik sehingga $\\vec{PC} = k \\vec{BC}$.

Mari kita asumsikan D, Q, C segaris dan A, P, B segaris.
DQ:QC = 1:2 $\implies$ $\\vec{DQ} = \\frac{1}{3}\\vec{DC} = \\frac{1}{3}u$.
BC:PC = 1:4 $\implies$ $\\vec{BP} = \\frac{1}{4}\\vec{BC} = \\frac{1}{4}v$. Maka $\\vec{PC} = \\frac{3}{4}\\vec{BC} = \\frac{3}{4}v$. Ini bertentangan dengan rasio BC:PC=1:4.

Jika BC:PC = 1:4, maka P membagi BC. $\\vec{BP} = k \\vec{BC}$. $\\vec{PC} = (1-k) \\vec{BC}$.
$|BC|:|PC| = 1:4 
ightarrow |BC| = 4 |PC|$. Ini berarti P sangat dekat dengan C.

Jika rasio ini adalah $\\vec{BC} / \\vec{PC} = 1/4$, maka $\\vec{PC} = 4 \\vec{BC} = 4v$. Ini tidak mungkin.

Mari kita coba interpretasi yang paling umum untuk soal vektor seperti ini:
P pada AD, Q pada BC.
DQ:QC = 1:2. Q pada BC. $\\vec{BQ} = k v$. $\\vec{QC} = (1-k)v$. Rasio DQ:QC = 1:2. Masih tidak jelas.

Jika P pada AB, Q pada DC.
DQ:QC = 1:2 $\implies$ $\\vec{DQ} = \\frac{1}{3} u$. $\\vec{Q} = v + \\frac{1}{3} u$.
BC:PC = 1:4. P pada AB. $\\vec{AP} = k u$. $\\vec{P} = k u$. $\\vec{PC} = (u+v) - ku = (1-k)u + v$. Jika $|BC|:|PC|=1:4$, maka $|v| = \\frac{1}{4}|(1-k)u + v|$.
$4|v| = |(1-k)u + v|$.
$16|v|^2 = (1-k)^2 |u|^2 + |v|^2$. (karena u.v=0).
$15|v|^2 = (1-k)^2 |u|^2$.

Ada kemungkinan P dan Q adalah titik-titik sehingga $\\vec{DP} = k \\vec{DC}$ dan $\\vec{AQ} = m \\vec{AB}$.

Mari kita asumsikan interpretasi standar:
P adalah titik pada AB, Q adalah titik pada DC.
DQ:QC = 1:2 $\implies$ $\\vec{DQ} = \\frac{1}{3} u$. Maka $\\vec{Q}$ (posisi) = $\\vec{D} + \\vec{DQ} = v + \\frac{1}{3} u$.
BC:PC = 1:4. Jika P pada AB, ini bisa berarti AP:PB atau BP:PA.
Jika AP:PB = 1:4, maka $\\vec{AP} = \\frac{1}{5} u$. $\\vec{P} = \\frac{1}{5} u$. $\\vec{PC} = C - P = (u+v) - \\frac{1}{5} u = \\frac{4}{5} u + v$. $|PC| = \\sqrt{(\\frac{4}{5}|u|)^2 + |v|^2}$. $|BC|=|v|$. Rasio $|v|:|PC| = 1:4 
ightarrow 4|v| = |PC|$.
$16|v|^2 = (16/25)|u|^2 + |v|^2 
ightarrow 15|v|^2 = (16/25)|u|^2$. Masih bergantung pada rasio sisi.

Jika BP:PA = 1:4, maka $\\vec{BP} = \\frac{1}{5} u$. $\\vec{AP} = \\frac{4}{5} u$. $\\vec{P} = \\frac{4}{5} u$.
$\\vec{PC} = C - P = (u+v) - \\frac{4}{5} u = \\frac{1}{5} u + v$. $|PC| = \\sqrt{(\\frac{1}{5}|u|)^2 + |v|^2}$.
Rasio $|v|:|PC|=1:4 
ightarrow 4|v| = |PC|$.
$16|v|^2 = (1/25)|u|^2 + |v|^2 
ightarrow 15|v|^2 = (1/25)|u|^2$. Masih bergantung pada rasio sisi.

Mari kita periksa ulang soal asli jika ada gambar. Gambar tidak disertakan. Hanya deskripsi.