Perhatikan gambar berikut. Dua buah lingkaran yang

Jari-jari lingkaran kecil adalah 2.5 cm.

Pembahasan

Misalkan jari-jari kedua lingkaran besar adalah R = 10 cm, dan jari-jari lingkaran kecil adalah r. Lingkaran kecil diletakkan di antara kedua lingkaran besar yang bersinggungan, dan juga menyinggung bidang datar. 

Karena kedua lingkaran besar bersinggungan dan berjari-jari sama, pusat kedua lingkaran besar berjarak 2R = 20 cm. Misalkan pusat lingkaran besar pertama adalah O1 dan pusat lingkaran besar kedua adalah O2. 

Lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan bidang datar. Ini berarti pusat lingkaran kecil berada pada sumbu simetri yang tegak lurus dengan bidang datar dan membagi dua jarak antara pusat kedua lingkaran besar. 

Jarak vertikal dari pusat lingkaran kecil ke bidang datar adalah r (jari-jarinya). Jarak horizontal dari pusat lingkaran kecil ke pusat salah satu lingkaran besar adalah R (karena lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar). 

Kita dapat membentuk segitiga siku-siku dengan titik sudut di pusat lingkaran kecil, proyeksi pusat lingkaran kecil pada bidang datar, dan pusat salah satu lingkaran besar. Sisi-sisi segitiga ini adalah: 
1. Jarak vertikal dari pusat lingkaran kecil ke bidang datar = r.
2. Jarak horizontal dari proyeksi pusat lingkaran kecil ke pusat lingkaran besar = R = 10 cm.
3. Jarak dari pusat lingkaran kecil ke pusat lingkaran besar = R + r = 10 + r (karena kedua lingkaran bersinggungan luar).

Menggunakan teorema Pythagoras: (jarak horizontal)^2 + (jarak vertikal)^2 = (jarak pusat ke pusat)^2

10^2 + r^2 = (10 + r)^2
100 + r^2 = 100 + 20r + r^2
100 = 100 + 20r
0 = 20r
r = 0

Ini menunjukkan ada kekeliruan dalam interpretasi geometri soal. Mari kita tinjau ulang.

Jika lingkaran kecil berada di antara kedua lingkaran besar yang bersinggungan, dan menyinggung kedua lingkaran besar serta bidang datar, maka pusat lingkaran kecil akan berada pada ketinggian r dari bidang datar. Jarak horizontal dari pusat lingkaran kecil ke pusat setiap lingkaran besar adalah R (karena lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar). 

Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh pusat lingkaran besar pertama (O1), pusat lingkaran kecil (O_kecil), dan titik singgung antara lingkaran kecil dan bidang datar (T). Segitiga ini adalah segitiga siku-siku di T.

Sisi O1-O_kecil adalah jarak antara pusat dua lingkaran yang bersinggungan, yaitu R + r = 10 + r.
Sisi O_kecil-T adalah ketinggian pusat lingkaran kecil dari bidang datar, yaitu r.
Sisi O1-T adalah jarak horizontal dari pusat lingkaran besar ke titik singgung di bawahnya. Karena lingkaran kecil berada di tengah, jarak horizontal ini adalah sama dengan jari-jari lingkaran besar, yaitu R = 10 cm.

Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku O1TO_kecil:
(O1-T)^2 + (O_kecil-T)^2 = (O1-O_kecil)^2
10^2 + r^2 = (10 + r)^2
100 + r^2 = 100 + 20r + r^2
100 = 100 + 20r
0 = 20r
r = 0

Masih ada kesalahan. Mari kita perjelas posisi lingkaran.

Lingkaran besar berjari-jari R=10. Pusatnya O1 dan O2. Jarak O1O2 = 2R = 20.
Lingkaran kecil berjari-jari r. Pusatnya O_k.
Lingkaran kecil menyinggung bidang datar, jadi pusatnya O_k berada pada jarak r dari bidang datar.
Lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar. Jarak O1O_k = R+r = 10+r. Jarak O2O_k = R+r = 10+r.
Ini berarti O_k berada pada pertengahan garis O1O2, pada ketinggian tertentu.

Jika kita lihat dari atas, pusat kedua lingkaran besar sejajar. Misalkan bidang datar adalah sumbu x. Pusat lingkaran besar pertama di (-10, 0), pusat lingkaran besar kedua di (10, 0).
Lingkaran kecil menyinggung bidang datar, jadi pusatnya berada pada ketinggian r. Karena ia menyinggung kedua lingkaran besar, pusatnya harus berada di x=0.
Jadi pusat lingkaran kecil adalah (0, r).

Jarak dari pusat lingkaran kecil (0, r) ke pusat lingkaran besar pertama (-10, 0) adalah:
sqrt[2]{(0 - (-10))^2 + (r - 0)^2} = sqrt[2]{10^2 + r^2}

Karena lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar, jarak ini harus sama dengan R+r = 10+r.
sqrt[2]{100 + r^2} = 10 + r
Kuadratkan kedua sisi:
100 + r^2 = (10 + r)^2
100 + r^2 = 100 + 20r + r^2
0 = 20r
r = 0

Ini masih memberikan hasil r=0. Ada asumsi yang salah tentang bagaimana lingkaran-lingkaran itu diletakkan.

Mari kita asumsikan penempatan yang lebih umum.
Lingkaran besar 1 (pusat O1, jari-jari R=10) dan lingkaran besar 2 (pusat O2, jari-jari R=10) bersinggungan. Jarak O1O2 = 20.
Lingkaran kecil (pusat Ok, jari-jari r) menyinggung kedua lingkaran besar dan bidang datar.

Jika lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar, pusatnya Ok akan berada pada jarak R+r dari O1 dan R+r dari O2. Ini berarti Ok terletak pada garis sumbu yang membagi dua segmen O1O2.

Jika lingkaran kecil juga menyinggung bidang datar, maka jarak pusat Ok ke bidang datar adalah r.

Mari kita gunakan koordinat. Misalkan bidang datar adalah bidang xy (z=0). 
Karena kedua lingkaran besar berjari-jari sama dan bersinggungan, kita bisa letakkan pusatnya di:
O1 = (-10, 0, 0) dan O2 = (10, 0, 0) jika mereka bersinggungan di (0,0,0) pada bidang datar.
Namun, soal menyatakan "diletakan pada sebuah bidang datar". Ini bisa berarti pusatnya berada pada bidang datar, atau lingkarannya menyinggung bidang datar.

Jika kedua lingkaran besar menyinggung bidang datar, maka pusatnya berada pada ketinggian R=10 dari bidang datar.
O1 = (-10, 0, 10) dan O2 = (10, 0, 10).

Lingkaran kecil menyinggung bidang datar. Pusatnya Ok = (x, y, r).
Lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar 1: Jarak O1Ok = R+r = 10+r.
sqrt[2]{(x - (-10))^2 + (y - 0)^2 + (r - 10)^2} = 10+r
(x+10)^2 + y^2 + (r-10)^2 = (10+r)^2
(x+10)^2 + y^2 + r^2 - 20r + 100 = 100 + 20r + r^2
(x+10)^2 + y^2 = 40r

Lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar 2: Jarak O2Ok = R+r = 10+r.
sqrt[2]{(x - 10)^2 + (y - 0)^2 + (r - 10)^2} = 10+r
(x-10)^2 + y^2 + (r-10)^2 = (10+r)^2
(x-10)^2 + y^2 = 40r

Dari kedua persamaan ini:
(x+10)^2 + y^2 = (x-10)^2 + y^2
(x+10)^2 = (x-10)^2
x^2 + 20x + 100 = x^2 - 20x + 100
20x = -20x
40x = 0
x = 0

Substitusikan x=0 ke salah satu persamaan:
(0+10)^2 + y^2 = 40r
100 + y^2 = 40r

Karena lingkaran kecil diletakkan "di antara kedua lingkaran besar", asumsinya adalah pusatnya berada pada garis tengah antara kedua lingkaran besar. Jika O1=(-10,0,10) dan O2=(10,0,10), maka garis tengah adalah bidang x=0. Jadi, pusat lingkaran kecil adalah (0, y, r).

Karena ia berada "di antara" dan bersinggungan simetris, maka y=0.
Jadi pusat lingkaran kecil adalah Ok = (0, 0, r).

Masukkan x=0, y=0 ke dalam persamaan:
(0+10)^2 + 0^2 = 40r
100 = 40r
r = 100 / 40
r = 10 / 4
r = 2.5 cm

Jadi, jari-jari lingkaran kecil adalah 2.5 cm.