Perhatikan gambar berikut. x-y=-6 x+y=10 x+2y=8 Pada daerah

Titik (12, -2)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan program linear, di mana kita perlu mencari titik minimum dari fungsi tujuan pada daerah yang diarsir. 

Kita memiliki sistem pertidaksamaan linear:
1) x - y = -6  => y = x + 6
2) x + y = 10  => y = 10 - x
3) x + 2y = 8  => 2y = 8 - x => y = 4 - 1/2 x

Kita perlu mencari titik-titik sudut (vertex) dari daerah yang diarsir yang dibatasi oleh garis-garis ini.

Titik potong antara garis 1 dan 2:
x + 6 = 10 - x
2x = 4
x = 2
y = 2 + 6 = 8
Titik A = (2, 8)

Titik potong antara garis 1 dan 3:
x + 6 = 4 - 1/2 x
x + 1/2 x = 4 - 6
3/2 x = -2
x = -2 * (2/3)
x = -4/3
y = -4/3 + 6 = -4/3 + 18/3 = 14/3
Titik B = (-4/3, 14/3)

Titik potong antara garis 2 dan 3:
10 - x = 4 - 1/2 x
10 - 4 = x - 1/2 x
6 = 1/2 x
x = 12
y = 10 - 12 = -2
Titik C = (12, -2)

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan f(x,y) = 2y - 3x di setiap titik sudut:

Di titik A (2, 8):
f(2, 8) = 2(8) - 3(2) = 16 - 6 = 10

Di titik B (-4/3, 14/3):
f(-4/3, 14/3) = 2(14/3) - 3(-4/3) = 28/3 + 12/3 = 40/3 ≈ 13.33

Di titik C (12, -2):
f(12, -2) = 2(-2) - 3(12) = -4 - 36 = -40

Nilai minimum dari fungsi tujuan adalah -40, yang dicapai pada titik C (12, -2).

Namun, perlu diperhatikan bahwa soal ini menyertakan gambar daerah yang diarsir yang tidak disertakan dalam teks. Tanpa gambar, sulit untuk menentukan daerah yang dimaksud dan titik-titik sudut yang valid. Asumsi di atas adalah bahwa ketiga titik potong tersebut merupakan titik sudut dari daerah yang diarsir.

Jika kita mengasumsikan bahwa daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh ketiga garis tersebut dan berada di kuadran positif, maka kita perlu memeriksa kembali batasannya. 

Mari kita asumsikan bahwa pertidaksamaan yang benar adalah:
x - y <= -6
x + y <= 10
x + 2y <= 8
dan x>=0, y>=0 (jika daerahnya di kuadran pertama).

Jika kita menginterpretasikan soal sebagai mencari minimum pada perpotongan ketiga garis tersebut tanpa batasan tambahan, maka titik minimumnya adalah (12, -2). Namun, dalam konteks program linear seringkali ada batasan tambahan seperti x>=0 dan y>=0.

Jika kita melihat opsi jawaban yang biasanya diberikan dalam soal pilihan ganda, dan berdasarkan perhitungan kita, titik (12, -2) memberikan nilai minimum. Namun, biasanya soal seperti ini akan memberikan batasan tambahan. 

Dengan informasi yang diberikan, titik minimum dicapai di (12, -2). Jika harus memilih dari opsi A, B, C, D, dan tidak ada informasi tambahan, kita perlu mempertimbangkan bagaimana daerah itu digambarkan.

Karena soal meminta titik di mana fungsi tujuan mencapai minimum pada daerah yang diarsir, dan kita telah menghitung nilai fungsi di titik-titik potong garis, kita perlu mengidentifikasi titik mana yang termasuk dalam daerah yang diarsir. Tanpa gambar, kita tidak bisa menentukan ini.

Namun, jika kita menganggap bahwa soal ini menguji kemampuan mencari titik potong dan evaluasi fungsi, dan salah satu titik potong tersebut adalah jawaban yang dicari:

Kita akan berasumsi bahwa ada daerah yang dibatasi oleh garis-garis ini dan kita perlu mencari nilai minimum di salah satu titik sudutnya.
Nilai minimum yang kita temukan adalah -40 di titik (12, -2).

Jika ada pilihan jawaban yang sesuai dengan salah satu titik potong yang memberikan nilai minimum, maka itu adalah jawabannya. 

Karena tidak ada pilihan yang diberikan, dan instruksi meminta untuk menentukan titik, kita berikan titik yang menghasilkan nilai minimum dari perhitungan kita: (12, -2).