Perhatikan gambar berikut. Y y=x^2-3x y=3-x -3 0 3 XLuas

Luas daerah tertutup adalah 32/3 satuan luas.

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x^2-3x dan garis y=3-x, kita perlu menentukan titik potong kedua fungsi tersebut terlebih dahulu.

Samakan kedua fungsi:
x^2 - 3x = 3 - x
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
x^2 - 3x + x - 3 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 3)(x + 1) = 0

Jadi, titik potongnya adalah x = 3 dan x = -1.

Selanjutnya, kita perlu menentukan fungsi mana yang berada di atas pada interval [-1, 3]. Ambil nilai uji, misalnya x = 0:
Untuk y = x^2 - 3x, y = 0^2 - 3(0) = 0
Untuk y = 3 - x, y = 3 - 0 = 3
Karena 3 > 0, maka garis y = 3 - x berada di atas kurva y = x^2 - 3x pada interval [-1, 3].

Luas daerah dihitung dengan integral tentu dari selisih kedua fungsi, di mana fungsi atas dikurangi fungsi bawah, dari batas bawah hingga batas atas:
Luas = ∫[-1, 3] ((3 - x) - (x^2 - 3x)) dx
Luas = ∫[-1, 3] (3 - x - x^2 + 3x) dx
Luas = ∫[-1, 3] (-x^2 + 2x + 3) dx

Integralkan fungsi tersebut:
Luas = [-x^3/3 + x^2 + 3x] dari -1 sampai 3

Evaluasi pada batas atas (x=3):
= -(3)^3/3 + (3)^2 + 3(3)
= -27/3 + 9 + 9
= -9 + 9 + 9
= 9

Evaluasi pada batas bawah (x=-1):
= -(-1)^3/3 + (-1)^2 + 3(-1)
= -(-1)/3 + 1 - 3
= 1/3 + 1 - 3
= 1/3 - 2
= 1/3 - 6/3
= -5/3

Kurangkan hasil evaluasi batas bawah dari batas atas:
Luas = 9 - (-5/3)
Luas = 9 + 5/3
Luas = 27/3 + 5/3
Luas = 32/3