Perhatikan grafik berikut. y x 6 -3 3 OPersamaan grafik

y = -2x^2 + 4x + 6

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan grafik yang sesuai dari titik-titik yang diberikan, kita perlu menganalisis informasi dari grafik (meskipun grafik tidak ditampilkan, kita dapat mengasumsikan beberapa karakteristik umum dari parabola berdasarkan pilihan jawaban).

Pilihan jawaban semuanya berbentuk $y = ax^2 + bx + c$. Koefisien $a$ menentukan arah parabola terbuka. Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah. Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas.

Dari pilihan A, B, C, D, E, tampaknya parabola terbuka ke bawah (karena koefisien $x^2$ negatif).

Mari kita perhatikan titik-titik penting pada grafik yang mungkin diberikan:
1.  Titik potong sumbu y: Ini terjadi ketika $x = 0$. Dari semua pilihan, ketika $x=0$, $y=c$.
    *   A: $y = 0^2 + 2(0) + 6 = 6$
    *   B: $y = 0^2 - 2(0) + 6 = 6$
    *   C: $y = -2(0)^2 + 2(0) + 6 = 6$
    *   D: $y = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 6$
    *   E: $y = -2(0)^2 - 4(0) = 0$
    Ini menunjukkan bahwa titik potong sumbu y adalah (0, 6) untuk pilihan A, B, C, D, dan (0, 0) untuk pilihan E. Jika grafik memotong sumbu y di 6, maka E dapat dieliminasi.

2.  Titik potong sumbu x: Ini terjadi ketika $y = 0$.
    *   Untuk pilihan A: $y = -x^2 + 2x + 6$. Akar-akarnya dapat dicari dengan rumus kuadrat. Diskriminan $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(6) = 4 + 24 = 28$. Akar-akarnya adalah $x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{-2} = 1 \pm \sqrt{7}$. Nilai x kira-kira $1 \pm 2.64$, yaitu 3.64 dan -1.64.
    *   Untuk pilihan B: $y = -x^2 - 2x + 6$. Diskriminan $\Delta = (-2)^2 - 4(-1)(6) = 4 + 24 = 28$. Akar-akarnya adalah $x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{-2} = -1 \mp \sqrt{7}$. Nilai x kira-kira -3.64 dan 1.64.
    *   Untuk pilihan C: $y = -2x^2 + 2x + 6$. Diskriminan $\Delta = 2^2 - 4(-2)(6) = 4 + 48 = 52$. Akar-akarnya adalah $x = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{-4} = \frac{1 \mp \sqrt{13}}{2}$. Nilai x kira-kira $\frac{1 \mp 3.6}{2}$, yaitu 2.3 dan -1.3.
    *   Untuk pilihan D: $y = -2x^2 + 4x + 6$. Diskriminan $\Delta = 4^2 - 4(-2)(6) = 16 + 48 = 64$. Akar-akarnya adalah $x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{-4} = \frac{-4 \pm 8}{-4}$. Akar-akarnya adalah $x = \frac{-4+8}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$ dan $x = \frac{-4-8}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$. Jadi, titik potong sumbu x adalah (-1, 0) dan (3, 0).

3.  Koordinat titik puncak:
    *   Untuk pilihan D, $x_{\text{puncak}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.
        $y_{\text{puncak}} = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$.
        Titik puncak adalah (1, 8).

Berdasarkan analisis titik potong sumbu x (-1, 0) dan (3, 0) serta titik potong sumbu y (0, 6), persamaan $y = -2x^2 + 4x + 6$ (Pilihan D) paling konsisten dengan karakteristik grafik parabola umum yang memotong sumbu x di dua titik dan sumbu y di 6, serta memiliki simetri yang sesuai.

Jika kita mengasumsikan grafik tersebut memiliki titik potong sumbu x pada x = -1 dan x = 3, serta memotong sumbu y pada y = 6, maka persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk faktorisasi:
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$
$y = a(x - (-1))(x - 3)$
$y = a(x + 1)(x - 3)$
$y = a(x^2 - 3x + x - 3)$
$y = a(x^2 - 2x - 3)$

Sekarang gunakan titik potong sumbu y (0, 6) untuk mencari nilai $a$:
$6 = a(0^2 - 2(0) - 3)$
$6 = a(-3)$
$a = \frac{6}{-3} = -2$

Mengganti nilai $a$ kembali ke persamaan:
$y = -2(x^2 - 2x - 3)$
$y = -2x^2 + 4x + 6$

Ini sesuai dengan Pilihan D.