Perhatikan persegi KLMN di bawah ini.Diketahui segitiga PLM

Keliling segitiga QMN adalah 24 cm.

Pembahasan

Diketahui persegi KLMN dengan panjang sisi LM = 8 cm. Segitiga PLM kongruen dengan segitiga QMN. Kongruen berarti kedua segitiga memiliki ukuran dan bentuk yang sama, sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dan sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar.

Karena KLMN adalah persegi, maka LM = MN = NK = KL = 8 cm.

Karena segitiga PLM kongruen dengan segitiga QMN (ΔPLM ≅ ΔQMN), maka:
- Sisi yang bersesuaian sama panjang:
  - PL = QN
  - LM = MN (sudah diketahui = 8 cm)
  - PM = Q M
- Sudut yang bersesuaian sama besar:
  - ∠LPM = ∠MQN
  - ∠PLM = ∠QNM
  - ∠PML = ∠MNQ

Kita diberikan informasi tambahan bahwa QL = 2 cm.
Karena KL = 8 cm, maka KQ = KL - QL = 8 cm - 2 cm = 6 cm.

Dari kekongruenan ΔPLM ≅ ΔQMN, kita tahu bahwa LM bersesuaian dengan MN (keduanya adalah sisi persegi dan sama panjang, 8 cm). Ini adalah informasi yang sudah kita miliki.

Sekarang, mari kita lihat sisi-sisi lain yang bersesuaian:
LM bersesuaian dengan MN (LM = 8, MN = 8)
PL bersesuaian dengan QN
PM bersesuaian dengan QM

Namun, informasi tentang kongruensi ini tidak secara langsung memberikan panjang sisi segitiga QMN yang lain (QN dan QM) hanya dari LM=8 dan QL=2.

Mari kita periksa kembali asumsi kongruensi. Jika kita mengasumsikan bahwa P dan Q adalah titik pada sisi KL dan KN secara berurutan, atau ada informasi lain yang tidak disertakan dalam teks soal (seperti posisi P dan Q), kita tidak dapat menentukan keliling segitiga QMN.

Namun, jika soal menyiratkan bahwa LM adalah alas segitiga PLM dan MN adalah alas segitiga QMN, dan P serta Q adalah titik-titik sedemikian rupa sehingga kongruensi ini berlaku, maka kita perlu mencari panjang QN dan QM.

Jika kita mengasumsikan P adalah titik pada KN dan Q adalah titik pada KL (ini kebalikan dari yang biasa diasumsikan, mari kita coba kedua kasus):
Kasus 1: P di KN, Q di KL. Maka PL = KN - PN, QL = KL - KQ.
Jika ΔPLM ≅ ΔQMN, maka LM = MN (8 cm), PL = QN, PM = QM.
Kita tahu KL = 8 cm, LM = 8 cm, MN = 8 cm, NK = 8 cm.
QL = 2 cm, jadi Q berada di KL. KQ = KL - QL = 8 - 2 = 6 cm.
Karena ΔPLM ≅ ΔQMN, maka LM bersesuaian dengan MN (8 cm).
PL bersesuaian dengan QN. Tapi kita tidak tahu PL.
PM bersesuaian dengan QM.

Dalam persegi KLMN, jika kita ambil titik Q pada KL dengan QL=2, maka KQ=6. Titik P pada KN.
Jika ΔPLM ≅ ΔQMN:
LM = MN = 8 cm.
PL = QN
PM = QM

Mari kita lihat sudut-sudutnya:
∠L = ∠M = ∠N = ∠K = 90°.
Dalam ΔPLM, ∠L = 90°.
Dalam ΔQMN, ∠N = 90°.

Karena ΔPLM ≅ ΔQMN:
LM = MN = 8
PL = QN
PM = QM

Ini berarti titik P dan Q harus simetris sedemikian rupa sehingga segitiga tersebut kongruen.
Jika Q terletak pada KL sedemikian sehingga QL = 2 cm, maka KQ = 6 cm.
Jika P terletak pada KN sedemikian sehingga PN = 2 cm, maka PK = 6 cm.
Dalam kasus ini, ΔPLM dan ΔQMN:
LM = 8.
PL = KN - PN = 8 - 2 = 6.
PM = sqrt(PL^2 + LM^2) = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10.

Untuk ΔQMN:
MN = 8.
QN = KL - QL = 8 - 2 = 6.
QM = sqrt(QN^2 + MN^2) = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10.

Jadi, jika P dan Q dipilih sedemikian rupa sehingga PL = QN (atau PN = QL), maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Dengan QL = 2 cm, maka QN = 6 cm (karena QN adalah sisi persegi yang berlawanan dengan KL, jadi QN = KL = 8, ini salah). QN adalah sisi dari segitiga QMN.

Perhatikan persegi KLMN. LM=8, MN=8.
Segitiga PLM kongruen segitiga QMN.
Ini berarti sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
LM bersesuaian dengan MN (keduanya 8 cm).
PL bersesuaian dengan QN.
PM bersesuaian dengan QM.

Diketahui QL = 2 cm. Q adalah sebuah titik. Diasumsikan Q adalah titik pada sisi KL.
Maka, KL = KQ + QL.
8 cm = KQ + 2 cm.
KQ = 6 cm.

Karena segitiga QMN memiliki sisi MN = 8 cm (sisi persegi) dan sudut ∠N = 90°.
Untuk mencari keliling segitiga QMN, kita perlu panjang QN dan QM.

Jika ΔPLM ≅ ΔQMN:
Sisi yang diketahui pada ΔPLM adalah LM = 8 cm.
Sisi yang diketahui pada ΔQMN adalah MN = 8 cm.

Karena kongruen, maka sisi-sisi lain yang bersesuaian harus sama.
PL = QN
PM = QM

Jika Q berada di KL dengan QL=2, maka KQ=6.
Jika P berada di KN dengan PN=2, maka PK=6.

Dalam segitiga QMN:
MN = 8 cm.
Sudut ∠N = 90°.
Kita perlu QN dan QM.
Jika P dan Q dipilih simetris, misalnya P pada KN sehingga PN=2 dan Q pada KL sehingga QL=2.
Maka PL = KN - PN = 8 - 2 = 6 cm.
QN = KL - QL = 8 - 2 = 6 cm.

Dalam segitiga QMN:
Sisi MN = 8 cm.
Sisi QN = 6 cm.
Sudut di N adalah 90°.
Maka sisi QM (hipotenusa) = sqrt(QN² + MN²) = sqrt(6² + 8²) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10 cm.

Keliling segitiga QMN = QN + MN + QM = 6 cm + 8 cm + 10 cm = 24 cm.

Mari kita periksa apakah kondisi kongruensi terpenuhi dengan asumsi ini.
Segitiga QMN memiliki sisi QN=6, MN=8, QM=10.
Segitiga PLM memiliki sisi LM=8, PL=6, PM=10.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (6, 8, 10), maka kedua segitiga tersebut memang kongruen.

Jadi, keliling segitiga QMN adalah 24 cm.