Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1,-10) dan

(x - 1)^2 + (y + 10)^2 = (172 + 26√3) / 10

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1, -10) dan menyinggung garis 3x - y + √3 = 0, kita perlu menggunakan konsep jarak dari titik ke garis. Jari-jari lingkaran (r) sama dengan jarak dari pusat lingkaran ke garis singgungnya.

Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

Dalam kasus ini:
Pusat lingkaran (x0, y0) = (1, -10)
Garis singgung adalah 3x - y + √3 = 0, sehingga A = 3, B = -1, dan C = √3.

Mencari jari-jari (r) dengan menghitung jarak dari pusat ke garis:
r = |(3)(1) + (-1)(-10) + √3| / √(3^2 + (-1)^2)
r = |3 + 10 + √3| / √(9 + 1)
r = |13 + √3| / √10
r = (13 + √3) / √10

Karena r > 0, nilai absolutnya tetap sama.

Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Substitusikan pusat (1, -10) dan jari-jari r = (13 + √3) / √10:
(x - 1)^2 + (y - (-10))^2 = ((13 + √3) / √10)^2
(x - 1)^2 + (y + 10)^2 = (13 + √3)^2 / (√10)^2
(x - 1)^2 + (y + 10)^2 = (169 + 26√3 + 3) / 10
(x - 1)^2 + (y + 10)^2 = (172 + 26√3) / 10

Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x - 1)^2 + (y + 10)^2 = (172 + 26√3) / 10.