Persamaan x^2+2qx-5p+4=0 dan 4x^2-5px-4qx+4q-16p-12=0

p=12, q=-5, akar = 14 dan -4

Pembahasan

Misalkan akar persekutuan dari kedua persamaan adalah $\alpha$ dan $\beta$.

Dari persamaan pertama, $x^2 + 2qx - 5p + 4 = 0$, menurut Vieta:
$\alpha + \beta = -2q$
$\alpha \beta = -5p + 4$

Dari persamaan kedua, $4x^2 - 5px - 4qx + 4q - 16p - 12 = 0$, menurut Vieta:
$\alpha + \beta = \frac{5p + 4q}{4}$
$\alpha \beta = \frac{4q - 16p - 12}{4} = q - 4p - 3$

Karena kedua persamaan memiliki dua akar persekutuan, maka akar-akar dari kedua persamaan tersebut adalah sama. Oleh karena itu, kita dapat menyamakan hasil penjumlahan dan perkalian akar-akarnya:

1. Penjumlahan akar:
$-2q = \frac{5p + 4q}{4}$
$-8q = 5p + 4q$
$-12q = 5p$
$p = -\frac{12}{5}q$

2. Perkalian akar:
$-5p + 4 = q - 4p - 3$
$-p - q + 7 = 0$
$p + q = 7$

Substitusikan nilai $p$ dari persamaan pertama ke persamaan kedua:
$(-\frac{12}{5}q) + q = 7$
$\frac{-12q + 5q}{5} = 7$
$-7q = 35$
$q = -5$

Sekarang substitusikan nilai $q$ kembali ke persamaan $p = -\frac{12}{5}q$:
$p = -\frac{12}{5}(-5)$
$p = 12$

Jadi, nilai $p=12$ dan $q=-5$.

Sekarang kita substitusikan nilai $p$ dan $q$ ke salah satu persamaan untuk mencari akar-akarnya. Menggunakan persamaan pertama:
$x^2 + 2qx - 5p + 4 = 0$
$x^2 + 2(-5)x - 5(12) + 4 = 0$
$x^2 - 10x - 60 + 4 = 0$
$x^2 - 10x - 56 = 0$

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$(x - 14)(x + 4) = 0$

Maka, akar-akarnya adalah $x = 14$ dan $x = -4$.

Jadi, nilai $p=12$, $q=-5$, dan kedua akar persekutuannya adalah 14 dan -4.