Persamaan x^3-4x^2+5x-k=0 mempunyai akar-akar rasional.

2

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan polinomial $x^3 - 4x^2 + 5x - k = 0$ adalah $\alpha$, $\alpha$, dan $\beta$.
Menurut teorema Vieta:
1. Jumlah akar-akar: $\alpha + \alpha + \beta = -(-4)/1 \implies 2\alpha + \beta = 4$
2. Jumlah hasil kali akar-akar yang diambil dua-dua: $\alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \beta = 5/1 \implies \alpha^2 + 2\alpha\beta = 5$
3. Hasil kali akar-akar: $\alpha \cdot \alpha \cdot \beta = -(-k)/1 \implies \alpha^2 \beta = k$

Dari persamaan (1), kita dapatkan $\beta = 4 - 2\alpha$.
Substitusikan nilai $\beta$ ini ke dalam persamaan (2):
$\alpha^2 + 2\alpha(4 - 2\alpha) = 5$
$\alpha^2 + 8\alpha - 4\alpha^2 = 5$
$-3\alpha^2 + 8\alpha - 5 = 0$
$3\alpha^2 - 8\alpha + 5 = 0$
Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$(3\alpha - 5)(\alpha - 1) = 0$
Jadi, kemungkinan nilai $\alpha$ adalah $\alpha = 5/3$ atau $\alpha = 1$.

Jika $\alpha = 5/3$, maka $\beta = 4 - 2(5/3) = 4 - 10/3 = (12-10)/3 = 2/3$.
Dalam kasus ini, nilai $k = \alpha^2 \beta = (5/3)^2 (2/3) = (25/9)(2/3) = 50/27$. Ini bukan bilangan bulat.

Jika $\alpha = 1$, maka $\beta = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2$.
Dalam kasus ini, nilai $k = \alpha^2 \beta = (1)^2 (2) = 1 \cdot 2 = 2$.
Nilai $k = 2$ adalah bilangan bulat.

Jadi, nilai k yang bulat adalah 2.