Posisi sebuah partikel yang bergerak pada bidang xy

a) v = (3t^2 - 4t)i + 6tj m/s, b) |v(3)| ≈ 23.43 m/s, c) a = (6t - 4)i + 6j m/s^2

Pembahasan

Diketahui posisi partikel yang bergerak pada bidang xy dinyatakan dalam \(r = (t^3 - 2t^2)i + (3t^2)j\), di mana r dalam meter dan t dalam sekon.

a) Persamaan kecepatan partikel:
Kecepatan (v) adalah turunan pertama dari posisi (r) terhadap waktu (t).
\(v = dr/dt\)
\(v = d/dt [(t^3 - 2t^2)i + (3t^2)j]\)
\(v = (3t^2 - 4t)i + (6t)j\) m/s

b) Besar kecepatan saat t = 3 s:
Substitusikan t = 3 ke dalam persamaan kecepatan:
\(v(3) = (3(3)^2 - 4(3))i + (6(3))j\)
\(v(3) = (3(9) - 12)i + (18)j\)
\(v(3) = (27 - 12)i + 18j\)
\(v(3) = 15i + 18j\)

Besar kecepatan adalah magnitudo dari vektor kecepatan:
\(|v(3)| = \sqrt{(15)^2 + (18)^2}\)
\(|v(3)| = \sqrt{225 + 324}\)
\(|v(3)| = \sqrt{549}\)
\(|v(3)| \approx 23.43\) m/s

c) Persamaan percepatan partikel:
Percepatan (a) adalah turunan pertama dari kecepatan (v) terhadap waktu (t), atau turunan kedua dari posisi (r) terhadap waktu (t).
\(a = dv/dt\)
\(a = d/dt [(3t^2 - 4t)i + (6t)j]\)
\(a = (6t - 4)i + (6)j\) m/s^2

Jadi:
a) Persamaan kecepatan partikel adalah \(v = (3t^2 - 4t)i + (6t)j\) m/s.
b) Besar kecepatan saat t = 3 s adalah \(\sqrt{549}\) m/s atau sekitar 23.43 m/s.
c) Persamaan percepatan partikel adalah \(a = (6t - 4)i + 6j\) m/s^2.