Rasionalkan: = > 10/(3 (3)^(1/3) + 9^(1/3) + 1)= .....

$\frac{5}{4}(\sqrt[3]{9} - 1)$

Pembahasan

Untuk merasionalkan penyebut dari $\frac{10}{3\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} + 1}$, kita dapat mengalikan baik pembilang maupun penyebut dengan konjugat yang sesuai. Namun, metode yang lebih umum untuk merasionalkan bentuk seperti ini adalah dengan mengenali pola dari $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Misalkan $a = \sqrt[3]{3}$. Maka penyebutnya menjadi $3a + a^2 + 1$. Ini tidak langsung menyerupai pola $a^2+ab+b^2$ atau $a^2-ab+b^2$.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengalikan dengan bentuk yang akan menghasilkan selisih kubik. Perhatikan bahwa jika kita memiliki $(x+y+z)$ dan kita ingin merasionalkannya, kita perlu mengalikannya dengan sesuatu yang menghasilkan bentuk $a^3+b^3+c^3-3abc$. Namun, ini lebih kompleks.

Kita akan gunakan metode substitusi dan perkalian dengan faktor yang tepat. Misalkan $x = \sqrt[3]{3}$. Maka penyebutnya adalah $3x + x^2 + 1$. Kita ingin mengalikan dengan sesuatu sehingga penyebut menjadi bilangan rasional.

Perhatikan bentuk $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Jika kita menganggap penyebut kita adalah bagian dari pola tersebut, ini menjadi rumit karena ada suku konstan '1'.

Mari kita coba kalikan dengan $((\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)$.

Jika kita kalikan penyebut $(3\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} + 1)$ dengan $(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)$, kita akan mendapatkan:
$(3\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)$
$= 3\sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1) + \sqrt[3]{9}(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1) + 1(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)$
$= (3\sqrt[3]{27} - 3\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3}) + (\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}) + (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)$
$= (3 \cdot 3 - 3\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3}) + (3\sqrt[3]{3} - 3 + \sqrt[3]{9}) + (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)$
$= (9 - 3\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3}) + (3\sqrt[3]{3} - 3 + \sqrt[3]{9}) + (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)$
$= 9 - 3\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} - 3 + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$
Gabungkan suku-suku yang serupa:
$= (9 - 3 + 1) + (-3\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9}) + (3\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3})$
$= 7 - \sqrt[3]{9} + 5\sqrt[3]{3}$. Ini tidak menyederhanakan menjadi bilangan rasional.

Mari kita tinjau kembali soalnya. Kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau ada trik khusus yang terlewat.

Jika penyebutnya adalah $3 + 3^{1/3} + 3^{2/3}$, maka ini adalah bentuk $a^2+ab+b^2$ dengan $a=3^{1/3}$ dan $b=1$ (atau $a=3^{2/3}$ dan $b=3^{1/3}$ atau $a=3$ dan $b=3^{1/3}$), yang bisa dirasionalkan dengan mengalikan $a-b$ atau $a^3-b^3$ yang sesuai.

Namun, soal tertulis $3 (3)^(1/3) + 9^(1/3) + 1$. Ini sama dengan $3 \cdot 3^{1/3} + (3^2)^{1/3} + 1 = 3^{1 + 1/3} + 3^{2/3} + 1 = 3^{4/3} + 3^{2/3} + 1$.

Bentuk ini terlihat seperti bagian dari ekspansi $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Jika kita misalkan $a = 3^{2/3}$ dan $b = 1$, maka $a^2 = 3^{4/3}$. Suku tengahnya adalah $ab = 3^{2/3}$. Ini tidak cocok.

Jika kita misalkan $a = 3^{4/3}$ dan $b = 1$, maka $a^2 = 3^{8/3}$ dan $ab = 3^{4/3}$. Ini juga tidak cocok.

Mari kita pertimbangkan penyebut $P = 3 	imes 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1$.
Kita ingin mencari faktor $F$ sehingga $P 	imes F$ adalah rasional.

Coba substitusi: $x = 3^{1/3}$. Maka $x^3 = 3$. Penyebutnya adalah $3x + x^2 + 1$.
Kita ingin mengalikan dengan faktor yang jika dikalikan dengan $x^2 + 3x + 1$ akan menghasilkan bentuk yang $x^3$ nya muncul.

Perhatikan identitas:
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) = a^3+b^3+c^3-3abc$.
Dalam kasus kita, $a=1, b=x, c=x^2$. Maka $a^2=1, b^2=x^2, c^2=x^4=3x$. $ab=x, ac=x^2, bc=x^3=3$.

Maka faktornya adalah $(1 + x^2 + 3x - x - 3 - x^2) = (3x - 3)$.

Jadi, kita perlu mengalikan penyebut $x^2 + 3x + 1$ dengan $3x-3$? Sepertinya tidak tepat.

Mari kita coba identitas lain: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Atau $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Jika kita punya $x^2+3x+1$. Kita ingin menghasilkan sesuatu yang rasional.

Perhatikan bahwa $x^2+3x+1$. Kalikan dengan $x-3$?
$(x^2+3x+1)(x-3) = x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + x - 3 = x^3 - 8x - 3 = 3 - 8(3^{1/3}) - 3 = -8(3^{1/3})$. Ini tidak rasional.

Kalikan dengan $x-1$? $(x^2+3x+1)(x-1) = x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x + x - 1 = x^3 + 2x^2 - 2x - 1 = 3 + 2(3^{2/3}) - 2(3^{1/3}) - 1 = 2 + 2(3^{2/3}) - 2(3^{1/3})$. Tidak rasional.

Kalikan dengan $3-x$? $(x^2+3x+1)(3-x) = 3x^2 - x^3 + 9x - 3x^2 + 3 - x = -x^3 + 9x + 3 - x = -3 + 9(3^{1/3}) - 3^{1/3} + 3 = 8(3^{1/3})$. Tidak rasional.

Kalikan dengan $3-x^2$? $(x^2+3x+1)(3-x^2) = 3x^2 - x^4 + 9x - 3x^3 + 3 - x^2 = 3x^2 - 3x + 9x - 3(3) + 3 - x^2 = 2x^2 + 6x + 3 - 9 = 2x^2 + 6x - 6 = 2(3^{2/3}) + 6(3^{1/3}) - 6$. Tidak rasional.

Perhatikan kembali penyebutnya: $3 	imes 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1$.
Ini adalah bentuk $y^2 + 3y + 1$ dengan $y = 3^{1/3}$ tapi ada faktor 3 di suku pertama.

Jika soalnya adalah $\frac{10}{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$, maka kita bisa mengalikan dengan $( \sqrt[3]{3} - 1)$.
$(1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(\sqrt[3]{3} - 1) = (\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3 - 1 = 2$.
Maka $\frac{10}{1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} = \frac{10(\sqrt[3]{3} - 1)}{2} = 5(\sqrt[3]{3} - 1)$.

Kembali ke soal asli: $10/(3 \cdot 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1)$.
Misalkan $a = 3^{1/3}$. Maka penyebutnya adalah $3a + a^2 + 1$.
Kita ingin mengalikan dengan faktor $F$ sehingga $(a^2+3a+1)F$ rasional.

Ada identitas yang relevan untuk merasionalkan penyebut berbentuk $a+b+c$, namun lebih rumit.

Jika kita mengalikan dengan $(a^2 - 3a + 1)$? 
$(a^2+3a+1)(a^2-3a+1) = ((a^2+1)+3a)((a^2+1)-3a) = (a^2+1)^2 - (3a)^2 = a^4 + 2a^2 + 1 - 9a^2 = a^4 - 7a^2 + 1$
$= 3a - 7a^2 + 1 = 3(3^{1/3}) - 7(3^{2/3}) + 1$. Tidak rasional.

Ada kemungkinan soal ini memang dirancang untuk memiliki solusi yang tidak sederhana atau ada kesalahan pengetikan.

Namun, jika kita menganggap ada pola yang mirip dengan $a^2+ab+b^2$.
Misalkan kita punya $x^2+xy+y^2$.
Dalam penyebut kita ada $3^{2/3}$ dan $3^{1/3}$.
Jika kita tetapkan $y = 1$, maka kita perlu $x^2 + x + 1$. Kita punya $3^{2/3} + 3^{1/3} + 1$. Ini cocok jika koefisien $3^{1/3}$ adalah 1, bukan 3.

Jika kita tetapkan $x = 3^{1/3}$, maka $x^2 = 3^{2/3}$.
Penyebutnya adalah $3x + x^2 + 1$.
Kita perlu mengalikan dengan faktor yang sesuai.

Misalkan kita coba mengalikan dengan $(x^2-1)$:
$(x^2+3x+1)(x^2-1) = x^4 - x^2 + 3x^3 - 3x + x^2 - 1 = x^4 + 3x^3 - 3x - 1$
$= 3x - 3(3) - 3x - 1 = 3x - 9 - 3x - 1 = -10$.

Ini adalah hasil yang rasional! Faktornya adalah $(x^2-1)$.
Kita punya $x = 3^{1/3}$, jadi $x^2 = 3^{2/3}$.
Faktornya adalah $(3^{2/3} - 1)$.

Maka, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $(3^{2/3} - 1)$:
$\frac{10}{3 \cdot 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1} \times \frac{3^{2/3} - 1}{3^{2/3} - 1}$

Pembilang: $10(3^{2/3} - 1)$.
Penyebut: $(3 	imes 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1)(3^{2/3} - 1)$
Mari kita substitusi $x=3^{1/3}$. Penyebutnya menjadi $(3x + x^2 + 1)(x^2 - 1)$.
Seperti yang kita hitung di atas, $(x^2+3x+1)(x^2-1) = -10$.

Maka ekspresinya menjadi $\frac{10(3^{2/3} - 1)}{-10} = -(3^{2/3} - 1) = 1 - 3^{2/3}$.
$3^{2/3} = (3^2)^{1/3} = 9^{1/3} = \sqrt[3]{9}$.

Jadi, hasil rasionalkannya adalah $1 - \sqrt[3]{9}$.

Mari kita cek kembali.
Penyebut $= 3 \cdot 3^{1/3} + 9^{1/3} + 1$.
Faktor pengali adalah $9^{1/3} - 1$.
$(3 \cdot 3^{1/3} + 9^{1/3} + 1)(9^{1/3} - 1)$
$= (3^{4/3} + 9^{2/3} + 9^{1/3}) - (3 \cdot 3^{1/3} + 9^{1/3} + 1)$
$= (3 \cdot 3^{1/3} + 3^{4/3} + 3^{2/3}) - (3 \cdot 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1)$
$= 3^{4/3} - 1 = 3 \cdot 3^{1/3} - 1$. Ini masih belum rasional.

Kesalahan pada perhitungan $(x^2+3x+1)(x^2-1)$.
$(x^2+3x+1)(x^2-1) = x^2(x^2-1) + 3x(x^2-1) + 1(x^2-1)$
$= x^4 - x^2 + 3x^3 - 3x + x^2 - 1$
$= x^4 + 3x^3 - 3x - 1$
Dengan $x=3^{1/3}$, $x^3=3$, $x^4=3x$.
$= 3x + 3(3) - 3x - 1 = 3x + 9 - 3x - 1 = 8$.

Ah, jadi penyebutnya menjadi 8.

$\frac{10}{3 \cdot 3^{1/3} + 9^{1/3} + 1} \times \frac{9^{1/3} - 1}{9^{1/3} - 1}$

Pembilang: $10(9^{1/3} - 1)$.
Penyebut: $(3 \cdot 3^{1/3} + 9^{1/3} + 1)(9^{1/3} - 1)$

Misalkan $a=3^{1/3}$. Penyebut $= (3a + a^2 + 1)(a^2 - 1) = 8$. (dari perhitungan di atas).

Maka ekspresinya menjadi $\frac{10(9^{1/3} - 1)}{8} = \frac{5}{4}(9^{1/3} - 1)$.

Jadi, hasil rasionalkannya adalah $\frac{5}{4}(\sqrt[3]{9} - 1)$.

Jawaban ini didasarkan pada asumsi bahwa faktor $(x^2-1)$ yang digunakan pada $3x+x^2+1$ adalah benar. Mari kita verifikasi kembali.

Penyebut $= 3 	imes 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1$.
Kita kalikan dengan $3^{2/3} - 1$.
$(3 	imes 3^{1/3} + 3^{2/3} + 1)(3^{2/3} - 1)$
$= (3 	imes 3^{1/3})(3^{2/3} - 1) + (3^{2/3})(3^{2/3} - 1) + 1(3^{2/3} - 1)$
$= (3 	imes 3^{1/3} 	imes 3^{2/3} - 3 	imes 3^{1/3}) + (3^{4/3} - 3^{2/3}) + (3^{2/3} - 1)$
$= (3 	imes 3^{1} - 3 	imes 3^{1/3}) + (3 	imes 3^{1/3} - 3^{2/3}) + (3^{2/3} - 1)$
$= (9 - 3 	imes 3^{1/3}) + (3 	imes 3^{1/3} - 3^{2/3}) + (3^{2/3} - 1)$
$= 9 - 3 	imes 3^{1/3} + 3 	imes 3^{1/3} - 3^{2/3} + 3^{2/3} - 1$
$= 9 - 1 = 8$.

Perhitungan ini sudah benar. Penyebutnya menjadi 8.

Pembilangnya adalah $10(3^{2/3} - 1) = 10(9^{1/3} - 1)$.

Hasil akhirnya adalah $\frac{10(9^{1/3} - 1)}{8} = \frac{5}{4}(9^{1/3} - 1)$.

Soal ini menguji pemahaman tentang merasionalkan penyebut yang melibatkan akar pangkat tiga, khususnya dengan mengidentifikasi faktor pengali yang tepat berdasarkan struktur aljabar.

Jawaban lengkapnya adalah $\frac{5}{4}(\sqrt[3]{9} - 1)$.