Rumus suku ke-n dari barisan 6, 12,20, 30,42,... adalah

$U_n = (n+1)(n+2)$ atau $U_n = n^2 + 3n + 2$

Pembahasan

Untuk mencari rumus suku ke-n dari barisan 6, 12, 20, 30, 42, ..., kita perlu menganalisis selisih antara suku-suku yang berurutan:

Suku pertama (U1) = 6
Suku kedua (U2) = 12
Suku ketiga (U3) = 20
Suku keempat (U4) = 30
Suku kelima (U5) = 42

Selisih tingkat pertama:
U2 - U1 = 12 - 6 = 6
U3 - U2 = 20 - 12 = 8
U4 - U3 = 30 - 20 = 10
U5 - U4 = 42 - 30 = 12

Selisih tingkat kedua:
8 - 6 = 2
10 - 8 = 2
12 - 10 = 2

Karena selisih tingkat kedua konstan (yaitu 2), maka barisan ini adalah barisan kuadratik, yang memiliki rumus suku ke-n berbentuk $U_n = An^2 + Bn + C$.

Untuk mencari nilai A, B, dan C, kita bisa menggunakan beberapa suku pertama:

Untuk n=1: $A(1)^2 + B(1) + C = 6 				(1) 				A + B + C = 6$
Untuk n=2: $A(2)^2 + B(2) + C = 12 			(2) 				4A + 2B + C = 12$
Untuk n=3: $A(3)^2 + B(3) + C = 20 			(3) 				9A + 3B + C = 20$

Sekarang kita eliminasi variabel:
Kurangkan (1) dari (2):
$(4A + 2B + C) - (A + B + C) = 12 - 6$
$3A + B = 6 						(4)$

Kurangkan (2) dari (3):
$(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 20 - 12$
$5A + B = 8 						(5)$

Sekarang kurangkan (4) dari (5):
$(5A + B) - (3A + B) = 8 - 6$
$2A = 2$
$A = 1$

Substitusikan A=1 ke dalam (4):
$3(1) + B = 6$
$3 + B = 6$
$B = 3$

Substitusikan A=1 dan B=3 ke dalam (1):
$1 + 3 + C = 6$
$4 + C = 6$
$C = 2$

Jadi, rumus suku ke-n adalah $U_n = 1n^2 + 3n + 2$, atau $U_n = n^2 + 3n + 2$.

Kita bisa memverifikasi rumus ini:
Untuk n=1: $1^2 + 3(1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$
Untuk n=2: $2^2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$
Untuk n=3: $3^2 + 3(3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20$
Untuk n=4: $4^2 + 3(4) + 2 = 16 + 12 + 2 = 30$
Untuk n=5: $5^2 + 3(5) + 2 = 25 + 15 + 2 = 42$

Rumus tersebut benar. Kita juga bisa memfaktorkan $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$.
Mari kita cek:
Untuk n=1: (1+1)(1+2) = 2 * 3 = 6
Untuk n=2: (2+1)(2+2) = 3 * 4 = 12
Untuk n=3: (3+1)(3+2) = 4 * 5 = 20
Untuk n=4: (4+1)(4+2) = 5 * 6 = 30
Untuk n=5: (5+1)(5+2) = 6 * 7 = 42

Jadi, rumus suku ke-n adalah $(n+1)(n+2)$ atau $n^2 + 3n + 2$.