Rusuk TA dari bidang empat T.ABC tegak lurus pada alas.

Luas bidang PQRS adalah 12 cm^2.

Pembahasan

Untuk menentukan luas bidang PQRS, kita perlu menganalisis geometri bidang empat T.ABC dan irisan bidang PQRS.

Diketahui:
- Rusuk TA tegak lurus pada alas (bidang ABC).
- Panjang TA = 8 cm.
- Panjang BC = 6 cm.
- P titik tengah TB.
- Q titik tengah TC.
- R titik tengah AB.
- Bidang melalui P, Q, R memotong AC di S.

Karena P dan Q adalah titik tengah TB dan TC, maka PQ sejajar dengan BC dan PQ = 1/2 BC. Jadi, PQ = 1/2 * 6 cm = 3 cm.

Karena TA tegak lurus alas, maka TA tegak lurus AB dan AC. Segitiga TAB dan TAC adalah segitiga siku-siku di A.

Karena R adalah titik tengah AB, maka TR adalah garis berat pada segitiga TAB. Namun, ini tidak langsung membantu kita mencari luas PQRS.

Perhatikan bidang TBC. PQ adalah garis penghubung titik tengah dua sisi (TB dan TC), sehingga PQ sejajar BC dan panjangnya setengah dari BC.

Sekarang, kita perlu menentukan posisi S pada AC dan panjang RS. Bidang PQRS memotong AC di S.

Karena PQ sejajar BC, dan bidang PQRS memotong AC di S dan juga sejajar dengan PQ (karena PQ berada di bidang PQRS), maka RS juga harus sejajar dengan proyeksi BC pada bidang alas, atau dengan elemen lain yang memberikan orientasi yang sama.

Kita perlu menggunakan konsep kesebangunan atau vektor untuk menemukan posisi S.

Mari kita gunakan sifat kesebangunan. Dalam segitiga ABC, jika kita mengasumsikan segitiga ABC sebangun dengan segitiga yang dibentuk oleh R dan proyeksi C ke garis yang sejajar dengan BC melalui R, ini menjadi rumit tanpa informasi lebih lanjut tentang sudut atau panjang sisi alas.

Namun, kita bisa melihat bidang TBC dan perhatikan bahwa PQ sejajar BC. Karena R adalah titik tengah AB, kita bisa memproyeksikan segitiga TBC ke bidang yang mengandung R dan sejajar dengan TBC. Ini juga rumit.

Mari kita pertimbangkan bidang TBC. P dan Q adalah titik tengah TB dan TC. Maka PQ sejajar BC.

Sekarang, kita lihat bidang T.ABC. R adalah titik tengah AB.
Bidang PQRS memotong AC di S.
Karena PQ sejajar BC, dan bidang PQRS adalah bidang datar, maka RS harus memiliki orientasi tertentu terhadap BC atau elemen lain.

Jika kita menganggap bahwa bidang PQRS sejajar dengan BC (yang tidak diberikan), maka RS akan sejajar dengan BC. Tapi ini tidak bisa diasumsikan.

Mari kita kembali ke definisi bidang PQRS. P, Q, R adalah titik yang diketahui. S adalah titik potong bidang PQRS dengan AC.

Karena P dan Q adalah titik tengah TB dan TC, maka vektor $\vec{PQ} = \frac{1}{2} \vec{BC}$.

Sekarang kita perlu hubungan antara R dan bidang PQRS untuk menemukan S.
R adalah titik tengah AB.

Dalam segitiga ABC, jika S adalah titik pada AC, maka $\vec{AS} = k \vec{AC}$ untuk suatu skalar k.

Kita perlu menemukan hubungan antara titik P, Q, R, S dalam ruang.

Mari kita gunakan koordinat. Misalkan A = (0,0,0). Karena TA tegak lurus alas, kita bisa letakkan T = (0,0,8).
Misalkan B = (b1, b2, 0) dan C = (c1, c2, 0).
Karena BC = 6, maka $(c1-b1)^2 + (c2-b2)^2 = 36$.

P = titik tengah TB = (b1/2, b2/2, 4)
Q = titik tengah TC = (c1/2, c2/2, 4)
R = titik tengah AB = (b1/2, b2/2, 0)

Bidang PQRS melalui P, Q, R.
Kita perlu mencari S pada AC, sehingga S terletak pada bidang PQRS.
S = k C = (k*c1, k*c2, 0) untuk suatu skalar k.

Untuk menentukan S, kita perlu persamaan bidang PQRS.
Vektor $\vec{PQ} = Q - P = ( (c1-b1)/2, (c2-b2)/2, 0 )$ .
Karena PQ sejajar BC, ini konsisten.

Vektor $\vec{PR} = R - P = ( 0, 0, -4 )$.

Sebuah vektor normal untuk bidang PQRS adalah $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$.
$\vec{n} = ( (c1-b1)/2, (c2-b2)/2, 0 ) \times (0, 0, -4)$
$\vec{n} = ( -4(c2-b2)/2, 4(c1-b1)/2, 0 ) = ( -2(c2-b2), 2(c1-b1), 0 )$.

Persamaan bidang PQRS adalah $-2(c2-b2)x + 2(c1-b1)y + 0z = d$.
Substitusikan titik P: $-2(c2-b2)(b1/2) + 2(c1-b1)(b2/2) = d$
$-b1(c2-b2) + b2(c1-b1) = d$
$-b1c2 + b1b2 + b2c1 - b2b1 = d$
$b2c1 - b1c2 = d$.

Jadi, persamaan bidangnya adalah $-2(c2-b2)x + 2(c1-b1)y = b2c1 - b1c2$.

Sekarang kita cari S pada AC. S = k C = (k*c1, k*c2, 0).
S harus memenuhi persamaan bidang:
$-2(c2-b2)(k*c1) + 2(c1-b1)(k*c2) = b2c1 - b1c2$.
$k [ -2c1c2 + 2c1b2 + 2c2c1 - 2c2b1 ] = b2c1 - b1c2$.
$k [ 2c1b2 - 2c2b1 ] = b2c1 - b1c2$.
$2k [ c1b2 - c2b1 ] = -(b1c2 - b2c1)$.

Jika $c1b2 - c2b1 \neq 0$, maka $2k = -1$, sehingga $k = -1/2$.
Ini berarti $\vec{AS} = -1/2 \vec{AC}$, yang tidak masuk akal karena S harus pada segmen AC.

Ada kesalahan dalam asumsi atau pendekatan.

Mari kita gunakan sifat geometris tanpa koordinat.
Karena P dan Q adalah titik tengah TB dan TC, PQ sejajar BC.
Karena R adalah titik tengah AB.
Bidang PQRS memotong AC di S.

Perhatikan bidang TBC. PQ || BC.
Perhatikan bidang TAB. R adalah titik tengah AB.
Perhatikan bidang TAC. S adalah titik pada AC.

Karena PQ || BC, maka PQ sejajar dengan bidang apa pun yang mengandung BC.
Namun, PQRS adalah sebuah bidang.

Kita bisa menggunakan teorema Thales atau kesebangunan.
Karena PQ || BC, maka $\Delta TPQ \sim \Delta TBC$. Perbandingannya 1:2.

Sekarang, mari kita lihat bagaimana bidang PQRS berinteraksi dengan sisi-sisi tetrahedron.
P di TB, Q di TC, R di AB, S di AC.

Karena P dan Q adalah titik tengah, maka PQ sejajar BC.
Jika kita menganggap bidang PQRS sejajar dengan BC, maka RS juga harus sejajar dengan BC. Tapi ini tidak diberikan.

Namun, ada sifat penting dari bidang yang melalui garis PQ (yang sejajar BC) dan titik R.

Jika kita memandang dari sisi T, maka P, Q, R, S membentuk sebuah jajar genjang atau trapesium.

Karena PQ || BC, dan bidang PQRS memotong AC di S, maka kita bisa menggunakan teorema yang berkaitan dengan bidang yang memotong sisi-sisi tetrahedron.

Dalam kasus ini, karena PQ || BC, maka bidang PQRS akan memotong AC pada titik S sedemikian rupa sehingga RS sejajar dengan proyeksi BC pada bidang yang relevan, atau ada hubungan kesebangunan.

Salah satu cara untuk melihat ini adalah dengan mempertimbangkan bidang yang melalui R dan sejajar dengan bidang TBC. Bidang ini akan memotong TA di titik tengahnya dan TC di titik tengahnya.

Namun, bidang kita melalui P, Q, R.

Karena P dan Q adalah titik tengah, maka PQ sejajar BC.
Karena R adalah titik tengah AB.

Kita perlu menentukan posisi S pada AC.

Jika kita melihat penampang bidang melalui T dan tegak lurus BC, ini akan menjadi rumit.

Mari kita gunakan fakta bahwa PQ || BC.
Karena bidang PQRS memotong AC di S, maka vektor $\vec{RS}$ harus memiliki komponen yang berkaitan dengan BC atau PQ.

Dalam segitiga ABC, R adalah titik tengah AB. Jika S adalah titik pada AC, dan RS sejajar dengan BC, maka S adalah titik tengah AC.
Tapi apakah RS sejajar BC?

Karena PQ sejajar BC, dan R adalah titik tengah AB, maka bidang PQRS memotong AC di S. Jika kita memproyeksikan R ke garis yang sejajar BC melalui T, ini akan menjadi rumit.

Mari kita gunakan vektor lagi, dengan titik referensi yang berbeda, misalnya B.
Misal B = (0,0,0).
Karena TA tegak lurus alas, maka TA tegak lurus AB dan BC.
Ini menyiratkan bahwa AB dan BC tegak lurus jika alasnya siku-siku di B. Tapi ini tidak diberikan.

Asumsikan TA tegak lurus bidang ABC.
A=(0,0,0), T=(0,0,8).
B=(b,0,0).
C=(c1, c2, 0) dengan $(c1-b)^2 + c2^2 = 36$ jika B di sumbu x.
Ini terlalu umum.

Mari kita gunakan sifat kesebangunan yang lebih langsung.
Karena P titik tengah TB dan Q titik tengah TC, maka PQ || BC dan PQ = 1/2 BC = 3.

Karena R titik tengah AB.
Perhatikan bidang TBC. PQ sejajar BC.
Perhatikan bidang ABC. R di AB.

Karena PQ || BC, maka jarak dari P ke bidang ABC sama dengan jarak dari Q ke bidang ABC (jika T di atas bidang).
Jarak P dan Q dari bidang alas adalah setengah dari tinggi T dari alas, yaitu 4.

Sekarang, perhatikan bidang PQRS. Titik P, Q berada pada ketinggian 4 dari alas. Titik R, S berada pada alas.

Ini berarti bidang PQRS tidak sejajar dengan alas.

Karena PQ sejajar BC, dan bidang PQRS memotong AC di S, maka kita bisa menggunakan teorema yang menyatakan bahwa jika sebuah bidang memotong dua sisi sejajar dari sebuah tetrahedron, maka perpotongannya juga sejajar.

Namun, PQ tidak sejajar dengan bidang ABC.

Mari kita gunakan perspektif yang berbeda. Karena PQ || BC, maka vektor $\vec{PQ} = \frac{1}{2} \vec{BC}$.

Karena R adalah titik tengah AB.
Kita perlu menemukan S pada AC sehingga S berada pada bidang yang sama dengan P, Q, R.

Salah satu sifat penting dari tetrahedron adalah jika sebuah bidang memotong rusuk-rusuknya, maka perpotongannya membentuk sebuah bidang datar.

Karena PQ || BC, maka bidang PQRS akan memotong AC pada titik S sedemikian rupa sehingga RS memiliki orientasi tertentu.

Jika kita memandang dari T, maka PQ adalah garis tengah dari segitiga TBC. R adalah titik tengah AB.

Sebuah teorema menyatakan bahwa jika sebuah bidang memotong rusuk AB, BC, CD, DA dari sebuah tetrahedron di P, Q, R, S, maka P, Q, R, S koplanar.

Dalam kasus kita, P di TB, Q di TC, R di AB, S di AC.

Karena PQ || BC, dan R adalah titik tengah AB, maka bidang PQRS akan memotong AC di S sedemikian rupa sehingga RS sejajar dengan proyeksi BC pada bidang yang memotongnya.

Ini bisa diselesaikan dengan menggunakan kesebangunan pada penampang bidang.

Karena PQ || BC, maka jarak dari P ke alas = jarak dari Q ke alas = 1/2 tinggi T ke alas = 4.

Sekarang, perhatikan bidang TBC. P, Q adalah titik tengah. R adalah titik tengah AB.

Jika kita menganggap bidang PQRS, karena PQ || BC, maka bidang ini akan memotong AC di S sedemikian rupa sehingga RS sejajar dengan BC.
Ini adalah sifat dari bidang yang memotong dua garis sejajar pada bidang yang sama dan juga memotong garis lain.

Jika RS || BC, dan R adalah titik tengah AB, maka S haruslah titik tengah AC.

Mari kita verifikasi ini.
Jika S adalah titik tengah AC, maka RS adalah garis penghubung titik tengah dua sisi segitiga ABC, sehingga RS || BC dan RS = 1/2 BC = 3.

Sekarang, periksa apakah P, Q, R, S koplanar.
PQ || BC dan PQ = 3.
RS || BC dan RS = 3.
Maka PQ || RS dan PQ = RS.
Ini berarti PQRS adalah sebuah jajar genjang.

Jika PQRS adalah jajar genjang, maka P, Q, R, S koplanar.

Jadi, asumsi bahwa S adalah titik tengah AC tampaknya benar karena PQ || BC dan R adalah titik tengah AB.
Ini berasal dari sifat bidang yang memotong tetrahedron.

Jika PQ || BC, maka bidang yang mengandung PQ dan R akan memotong AC pada titik S sedemikian rupa sehingga RS sejajar BC.
Karena R adalah titik tengah AB, dan RS || BC, maka S harus titik tengah AC.

Dengan demikian, PQRS adalah jajar genjang dengan sisi PQ = RS = 3.
Kita perlu mencari luas jajar genjang PQRS.

Untuk mencari luas jajar genjang, kita perlu panjang sisi dan sudut di antaranya, atau tinggi dan alas.

Kita tahu PQ = 3 dan RS = 3.
Kita perlu panjang PR atau PS dan sudut di antaranya.

PR adalah jarak antara titik tengah TB dan titik tengah AB.
Dalam segitiga TAB, PR adalah garis penghubung titik tengah TB dan AB, sehingga PR || TA dan PR = 1/2 TA = 1/2 * 8 = 4.

Jadi, PQRS adalah jajar genjang dengan sisi PQ = 3 dan PR = 4.

Namun, PQ dan PR bukanlah sisi yang berdekatan dari jajar genjang PQRS jika PQ || BC dan RS || BC. Sisi-sisinya adalah PQ, QR, RS, SP.

Kita tahu PQ = 3 dan RS = 3, dan PQ || RS.
Kita perlu QR dan PS, atau sudut antara sisi-sisi.

Jika PQRS adalah jajar genjang, maka QR || PS.

Mari kita periksa kembali. PQ || BC, RS || BC. Maka PQ || RS.
Ini berarti PQRS adalah trapesium dengan sisi PQ dan RS sejajar.
Karena PQ = RS, maka PQRS adalah jajar genjang.

Sisi-sisinya adalah PQ, QR, RS, SP.
Kita tahu PQ = 3.
Kita tahu RS = 3.
Kita perlu QR atau PS.

QR menghubungkan titik tengah TC dan titik tengah AB. Ini tidak memiliki hubungan sederhana dengan sisi lain.

Mari kita gunakan vektor lagi untuk memastikan S adalah titik tengah AC.
Misalkan A sebagai titik asal.
$\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AT}$ adalah vektor basis.
Karena TA tegak lurus alas, $\vec{AT} \cdot \vec{AB} = 0$ dan $\vec{AT} \cdot \vec{AC} = 0$.

$\vec{T} = \vec{A} + \vec{AT}$
$\vec{B} = \vec{A} + \vec{AB}$
$\vec{C} = \vec{A} + \vec{AC}$

$\vec{P} = \frac{\vec{T} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{AT} + \vec{A} + \vec{AB}}{2} = \vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AB}$
$\vec{Q} = \frac{\vec{T} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{AT} + \vec{A} + \vec{AC}}{2} = \vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AC}$
$\vec{R} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AB}$
$\vec{S} = \vec{A} + k \vec{AC}$ untuk suatu k.

Bidang PQRS mengandung P, Q, R, S.
$\\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AC}) - (\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Ini konsisten, PQ || BC.

$\\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = (\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AB}) - (\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AB}) = -\frac{1}{2}\vec{AT}$.
Panjang PR = 1/2 Panjang AT = 4.

Sekarang, $\vec{PS} = \vec{S} - \vec{P} = (\vec{A} + k \vec{AC}) - (\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AB}) = k \vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AT} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Karena P, Q, R, S koplanar, maka $\vec{PS}$ harus merupakan kombinasi linear dari $\vec{PQ}$ dan $\vec{PR}$.
$\vec{PS} = a \vec{PQ} + b \vec{PR}$
$k \vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AT} - \frac{1}{2}\vec{AB} = a \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}) + b (-\frac{1}{2}\vec{AT})$
$k \vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AT} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{a}{2} \vec{AC} - \frac{a}{2} \vec{AB} - \frac{b}{2} \vec{AT}$

Menyamakan koefisien dari vektor basis independen $\vec{AC}$, $\vec{AT}$, $\vec{AB}$:
Koefisien $\vec{AC}$: $k = a/2 
Arr a = 2k$
Koefisien $\vec{AT}$: $-1/2 = -b/2 
Arr b = 1$
Koefisien $\vec{AB}$: $-1/2 = -a/2 
Arr a = 1$

Dari koefisien $\vec{AC}$, kita mendapatkan $a=2k$. Dari koefisien $\vec{AB}$, kita mendapatkan $a=1$. Maka $2k = 1$, sehingga $k = 1/2$.

Ini berarti $\vec{AS} = \frac{1}{2} \vec{AC}$. Jadi, S adalah titik tengah AC.

Dengan demikian, PQRS adalah jajar genjang dengan sisi PQ = 3 dan PS = 1/2 AC.
Kita tidak tahu panjang AC.

Namun, kita tahu PQ || BC dan RS || BC.
Kita juga tahu PR || TA dan PR = 4.

Perhatikan bidang yang dibentuk oleh PR dan PQ. Ini adalah bidang PQRS.
Karena PR || TA dan PQ || BC, maka sudut antara PR dan PQ tidak serta merta memberikan luas.

Kita punya jajar genjang PQRS dengan PQ = 3.
Karena S adalah titik tengah AC, maka RS = 1/2 BC = 3.

Sekarang kita perlu panjang QR atau sudutnya.
QR adalah ruas garis yang menghubungkan titik tengah TC dan AB.

Mari kita gunakan fakta bahwa TA tegak lurus alas.
Ini berarti TA tegak lurus AB dan TA tegak lurus AC.

Jika kita memproyeksikan PQRS ke bidang alas, maka PQ akan memendek, tapi PQ || BC.

Luas jajar genjang PQRS dapat dihitung jika kita tahu panjang sisi-sisinya dan satu sudut, atau jika kita tahu panjang kedua diagonalnya.

Kita tahu PQ = 3.
Kita tahu RS = 3.
Kita tahu PR = 4.
Karena PQRS jajar genjang, maka PS = QR.

Coba kita hitung PS.
$S$ adalah titik tengah AC. $P$ adalah titik tengah TB.
$\\vec{PS} = \vec{AS} - \vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AC} - (\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AB})$
Ini keliru. $\\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AB}$.
$\vec{PS} = \vec{S} - \vec{P} = (\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AC}) - (\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{AT} + \frac{1}{2}\vec{AB}) = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AT} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Panjang $PS^2 = |\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AT} - \frac{1}{2}\vec{AB}|^2$
Karena $\vec{AT}$ tegak lurus $\vec{AC}$ dan $\vec{AB}$, maka:
$PS^2 = \frac{1}{4} |\vec{AC}|^2 + \frac{1}{4} |\vec{AT}|^2 + \frac{1}{4} |\vec{AB}|^2 - \frac{1}{2} \vec{AC} \cdot \vec{AB}$
$PS^2 = \frac{1}{4} AC^2 + \frac{1}{4} TA^2 + \frac{1}{4} AB^2 - \frac{1}{2} \vec{AC} \cdot \vec{AB}$.

Ini masih memerlukan informasi tentang segitiga ABC.

Mari kita gunakan fakta bahwa PQRS adalah jajar genjang dengan PQ || BC dan RS || BC.
Kita juga tahu PR || TA dan PR = 4.

Bidang PQRS sejajar dengan vektor $\vec{PQ}$ (yang searah BC) dan $\vec{PR}$ (yang searah TA).
Karena TA tegak lurus alas, maka TA tegak lurus BC.

Ini berarti vektor $\vec{PQ}$ tegak lurus vektor $\vec{PR}$.

Jika PQRS adalah jajar genjang, dan kedua sisi yang berdekatan (misalnya PQ dan PR) tegak lurus, maka PQRS adalah persegi panjang.

Namun, PQ || BC dan PR || TA. Jika TA tegak lurus BC, maka PQ tegak lurus PR.

Jika PQ tegak lurus PR, maka jajar genjang PQRS adalah persegi panjang.

PQ = 3.
PR = 4.

Luas persegi panjang = panjang * lebar = PQ * PR = 3 * 4 = 12.

Verifikasi: Apakah PR selalu tegak lurus PQ?
PR adalah garis penghubung titik tengah TB dan AB. PR || TA.
PQ adalah garis penghubung titik tengah TB dan TC. PQ || BC.
Karena TA tegak lurus alas (ABC), maka TA tegak lurus AB dan TA tegak lurus AC. Tidak secara langsung menyatakan TA tegak lurus BC.

Namun, jika TA tegak lurus bidang ABC, maka vektor TA tegak lurus setiap vektor di bidang ABC.
Jika kita memilih B dan C sedemikian rupa sehingga BC sejajar dengan AB atau AC, atau tegak lurus, ini akan menyederhanakan.

Misalkan alas ABC adalah segitiga siku-siku di A. Maka AB tegak lurus AC.
TA tegak lurus AB dan TA tegak lurus AC.
Jika $\vec{TA} \perp \vec{AB}$ dan $\vec{TA} \perp \vec{AC}$, maka TA tegak lurus bidang ABC.

Jika $\vec{AB} \perp \vec{AC}$, maka $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
$\vec{TA} \cdot \vec{BC} = \vec{TA} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{TA} \cdot \vec{AC} - \vec{TA} \cdot \vec{AB} = 0 - 0 = 0$.

Jadi, jika alasnya siku-siku di A, maka TA tegak lurus BC.

Dalam soal ini, tidak disebutkan bahwa alasnya siku-siku di A. Hanya TA tegak lurus alas.

Jika TA tegak lurus alas, maka vektor TA tegak lurus setiap garis di alas.
Misalkan $\vec{u}$ adalah vektor arah BC. Maka $\vec{TA} \cdot \vec{u} = 0$.
Misalkan $\vec{v}$ adalah vektor arah AB. Maka $\vec{TA} \cdot \vec{v} = 0$.

PR || TA, jadi $\vec{PR}$ searah $\vec{TA}$.
PQ || BC, jadi $\vec{PQ}$ searah $\vec{BC}$.

Jika $\vec{TA} \perp \vec{BC}$, maka $\vec{PR} \perp \vec{PQ}$.
Dalam hal ini, PQRS adalah persegi panjang.
Luas = PQ * PR = 3 * 4 = 12.

Bagaimana jika TA tidak tegak lurus BC?
Misalkan alas ABC adalah segitiga sama sisi.
TA tegak lurus bidang ABC.
Misalkan A=(0,0,0), T=(0,0,8).
B=(s, 0, 0).
C=(s/2, s*sqrt(3)/2, 0).
BC = $\sqrt{(s/2-s)^2 + (s*sqrt(3)/2)^2} = \sqrt{(-s/2)^2 + 3s^2/4} = \sqrt{s^2/4 + 3s^2/4} = \sqrt{s^2} = s$.
Jadi, jika alasnya segitiga sama sisi, maka BC = s.
Kita diberikan BC = 6, jadi s = 6.

$A=(0,0,0), T=(0,0,8), B=(6,0,0), C=(3, 3\sqrt{3}, 0)$.
$P = (3,0,4)$
$Q = (3/2, 3\sqrt{3}/2, 4)$
$R = (3,0,0)$

$\vec{PQ} = (3/2 - 3, 3\sqrt{3}/2 - 0, 4-4) = (-3/2, 3\sqrt{3}/2, 0)$.
$|PQ|^2 = (-3/2)^2 + (3\sqrt{3}/2)^2 = 9/4 + 27/4 = 36/4 = 9$. $|PQ|=3$. Konsisten.
$\vec{BC} = (3-6, 3\sqrt{3}-0, 0-0) = (-3, 3\sqrt{3}, 0)$.
$\vec{PQ} = 1/2 \vec{BC}$. Konsisten.

$\vec{PR} = (3-3, 0-0, 0-4) = (0,0,-4)$. $|PR|=4$. Konsisten.

$\\vec{TA} = (0,0,-8)$.
$\vec{BC} = (-3, 3\sqrt{3}, 0)$.
$\vec{TA} \cdot \vec{BC} = 0*(-3) + 0*(3\sqrt{3}) + (-8)*0 = 0$.

Jadi, TA tegak lurus BC.
Ini berarti PR tegak lurus PQ.

Karena PQRS adalah jajar genjang dengan sisi PQ = 3 dan PR = 4, dan PR tegak lurus PQ, maka PQRS adalah persegi panjang.

Luas PQRS = PQ * PR = 3 * 4 = 12.

Kesimpulan: Luas bidang PQRS adalah 12 cm^2.