Salah satu asimtot dari hiperbola 16x^2 - 9y^2 + 32x + 36y

y = (4/3)x + 10/3 atau y = -(4/3)x + 2/3

Pembahasan

Untuk menemukan salah satu asimtot dari hiperbola 16x^2 - 9y^2 + 32x + 36y + 124 = 0, kita perlu mengubah persamaan tersebut ke bentuk standar dan kemudian menentukan persamaan asimtotnya.

Langkah 1: Kelompokkan suku-suku x dan y, serta pindahkan konstanta.
(16x^2 + 32x) - (9y^2 - 36y) = -124

Langkah 2: Faktorkan koefisien dari x^2 dan y^2.
16(x^2 + 2x) - 9(y^2 - 4y) = -124

Langkah 3: Lengkapi kuadrat untuk suku-suku x dan y.
Untuk suku x: (x^2 + 2x + 1) = (x + 1)^2. Kita menambahkan 16 * 1 = 16 ke kedua sisi.
Untuk suku y: (y^2 - 4y + 4) = (y - 2)^2. Kita menambahkan -9 * 4 = -36 ke kedua sisi.

16(x^2 + 2x + 1) - 9(y^2 - 4y + 4) = -124 + 16 - 36
16(x + 1)^2 - 9(y - 2)^2 = -144

Langkah 4: Ubah persamaan menjadi bentuk standar hiperbola (sisi kanan = 1).
Bagi kedua sisi dengan -144:
[16(x + 1)^2] / -144 - [9(y - 2)^2] / -144 = -144 / -144

[9(y - 2)^2] / 144 - [16(x + 1)^2] / 144 = 1

(y - 2)^2 / 16 - (x + 1)^2 / 9 = 1

Ini adalah persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (h, k) = (-1, 2).
Dari bentuk standar (y-k)^2/a^2 - (x-h)^2/b^2 = 1, kita punya:
a^2 = 16 => a = 4
b^2 = 9 => b = 3

Langkah 5: Tentukan persamaan asimtot.
Persamaan asimtot untuk hiperbola vertikal adalah y - k = ±(a/b)(x - h).

y - 2 = ±(4/3)(x - (-1))
y - 2 = ±(4/3)(x + 1)

Jadi, salah satu asimtotnya adalah:
y - 2 = (4/3)(x + 1)
y - 2 = (4/3)x + 4/3
y = (4/3)x + 4/3 + 2
y = (4/3)x + 4/3 + 6/3
y = (4/3)x + 10/3

Atau menggunakan tanda negatif:
y - 2 = -(4/3)(x + 1)
y - 2 = -(4/3)x - 4/3
y = -(4/3)x - 4/3 + 2
y = -(4/3)x - 4/3 + 6/3
y = -(4/3)x + 2/3

Salah satu asimtot dari hiperbola tersebut adalah y = (4/3)x + 10/3 atau y = -(4/3)x + 2/3.