Salah satu persamaan garis singgung kurva y=x^3-6x^2+18x+3

Salah satu persamaan garis singgungnya adalah y = 9x + 7.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari salah satu persamaan garis singgung kurva y = x³ - 6x² + 18x + 3 yang tegak lurus dengan garis 9y + x + 2 = 0.

Langkah 1: Tentukan gradien garis yang diberikan.
Garis yang diberikan adalah 9y + x + 2 = 0. Untuk mencari gradiennya, kita ubah ke bentuk y = mx + c.
9y = -x - 2
y = (-1/9)x - 2/9
Jadi, gradien garis ini (m1) adalah -1/9.

Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung.
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis y = (-1/9)x - 2/9, maka hasil kali gradien keduanya adalah -1 (m1 * m2 = -1).
(-1/9) * m2 = -1
m2 = 9.
Jadi, gradien garis singgung (m_singgung) adalah 9.

Langkah 3: Cari turunan pertama dari kurva y = x³ - 6x² + 18x + 3.
Turunan pertama dari kurva memberikan gradien garis singgung pada setiap titik x.
y' = d/dx (x³ - 6x² + 18x + 3)
y' = 3x² - 12x + 18.

Langkah 4: Samakan turunan pertama dengan gradien garis singgung yang kita cari (m_singgung = 9).
3x² - 12x + 18 = 9
3x² - 12x + 18 - 9 = 0
3x² - 12x + 9 = 0
Bagi seluruh persamaan dengan 3:
x² - 4x + 3 = 0

Langkah 5: Faktorkan persamaan kuadrat untuk mencari nilai x.
(x - 1)(x - 3) = 0
Maka, nilai x yang memenuhi adalah x = 1 atau x = 3.

Langkah 6: Cari nilai y yang bersesuaian untuk setiap nilai x.
Jika x = 1:
y = (1)³ - 6(1)² + 18(1) + 3
y = 1 - 6 + 18 + 3
y = 16
Jadi, titik singgung pertama adalah (1, 16).

Jika x = 3:
y = (3)³ - 6(3)² + 18(3) + 3
y = 27 - 6(9) + 54 + 3
y = 27 - 54 + 54 + 3
y = 30
Jadi, titik singgung kedua adalah (3, 30).

Langkah 7: Tentukan persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1).

Untuk titik (1, 16) dengan gradien m = 9:
y - 16 = 9(x - 1)
y - 16 = 9x - 9
y = 9x - 9 + 16
y = 9x + 7
Atau dalam bentuk Ax + By + C = 0: 9x - y + 7 = 0.

Untuk titik (3, 30) dengan gradien m = 9:
y - 30 = 9(x - 3)
y - 30 = 9x - 27
y = 9x - 27 + 30
y = 9x + 3
Atau dalam bentuk Ax + By + C = 0: 9x - y + 3 = 0.

Soal meminta "salah satu" persamaan garis singgung. Jadi, kedua persamaan di atas adalah jawaban yang valid.