Satu kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi

12 cm^2 (jika yang dimaksud luas minimum)

Pembahasan

Untuk menentukan luas maksimum permukaan kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi yang memiliki volume 4 cm^3, kita perlu menggunakan konsep optimasi dengan turunan.

Misalkan sisi alas persegi adalah x cm dan tinggi kotak adalah t cm.

Volume (V) kotak diberikan oleh:
V = luas alas * tinggi
V = x^2 * t
Kita tahu V = 4 cm^3, jadi:
4 = x^2 * t
Dari sini, kita bisa menyatakan t dalam x:
t = 4 / x^2

Luas permukaan (L) kotak tanpa tutup terdiri dari luas alas dan luas keempat sisi tegak:
L = luas alas + 4 * (luas satu sisi tegak)
L = x^2 + 4 * (x * t)

Substitusikan ekspresi t ke dalam rumus luas permukaan:
L(x) = x^2 + 4 * x * (4 / x^2)
L(x) = x^2 + 16x / x^2
L(x) = x^2 + 16/x

Untuk mencari luas maksimum, kita perlu mencari turunan pertama L(x) terhadap x dan menyetelnya sama dengan nol.

dL/dx = d/dx (x^2 + 16x^-1)
dL/dx = 2x + 16*(-1)*x^-2
dL/dx = 2x - 16/x^2

Setel dL/dx = 0 untuk mencari nilai kritis:
2x - 16/x^2 = 0
2x = 16/x^2
2x^3 = 16
x^3 = 8
x = 2

Sekarang kita perlu memverifikasi bahwa nilai x=2 memberikan luas maksimum. Kita bisa menggunakan uji turunan kedua.

d^2L/dx^2 = d/dx (2x - 16x^-2)
d^2L/dx^2 = 2 - 16*(-2)*x^-3
d^2L/dx^2 = 2 + 32/x^3

Substitusikan x = 2:
d^2L/dx^2 = 2 + 32/(2^3)
d^2L/dx^2 = 2 + 32/8
d^2L/dx^2 = 2 + 4
d^2L/dx^2 = 6

Karena turunan kedua positif (6 > 0), nilai x=2 memberikan luas minimum, bukan maksimum. Mari kita periksa kembali soalnya. Sepertinya ada kesalahan dalam asumsi bahwa ini adalah masalah maksimum. Dalam konteks soal seperti ini, seringkali yang dicari adalah dimensi yang meminimalkan luas permukaan untuk volume tetap, atau sebaliknya. Namun, jika soal secara eksplisit meminta luas maksimum, ini mungkin mengindikasikan bahwa tidak ada luas maksimum yang terdefinisi karena x bisa sangat kecil (mendekati 0) yang membuat luas menjadi sangat besar, atau ada batasan lain yang tidak disebutkan.

Asumsi yang umum untuk soal jenis ini adalah mencari dimensi yang meminimalkan luas permukaan. Jika memang demikian, maka x=2 adalah dimensi alasnya.

Jika x = 2 cm, maka t = 4 / x^2 = 4 / (2^2) = 4 / 4 = 1 cm.

Luas permukaan minimum = L(2) = 2^2 + 16/2 = 4 + 8 = 12 cm^2.

Namun, jika kita harus menjawab pertanyaan persis seperti yang diberikan (luas maksimum), maka mari kita analisis fungsi L(x) = x^2 + 16/x untuk x > 0.
Saat x mendekati 0 dari sisi positif, L(x) mendekati tak terhingga (karena 16/x).
Saat x mendekati tak terhingga, L(x) juga mendekati tak terhingga (karena x^2).
Titik kritis x=2 adalah titik minimum lokal.

Oleh karena itu, secara matematis, tidak ada luas permukaan maksimum untuk kotak tanpa tutup dengan alas persegi dan volume tetap jika tidak ada batasan tambahan pada dimensi x.

Namun, dalam konteks soal ujian atau latihan, seringkali ada kesalahan pengetikan dan yang dimaksud adalah luas minimum. Jika kita mengasumsikan itu, jawabannya adalah 12 cm^2.

Jika kita harus menjawab berdasarkan pertanyaan yang ada, maka jawabannya adalah 'tidak ada luas maksimum'. Namun, ini tidak sesuai dengan format soal yang meminta nilai numerik.

Mari kita asumsikan ada kekeliruan dan yang dimaksud adalah luas minimum.

Luas minimum permukaan kotak tersebut adalah 12 cm^2.