Garis y=2x-5 ditransformasikan oleh transformasi yang

9x - 8y - 25 = 0

Pembahasan

Garis awal: $y = 2x - 5$
Matriks transformasi: $M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

Transformasi matriks bekerja pada vektor kolom $(x, y)$. Jadi, kita perlu mengubah persamaan garis ke dalam bentuk vektor.

Misalkan titik $(x, y)$ ditransformasikan menjadi $(x', y')$. Maka:
$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $

Untuk mencari persamaan bayangan, kita perlu menyatakan $(x, y)$ dalam $(x', y')$. Kita gunakan invers dari matriks M.
$M^{-1} = \frac{1}{det(M)} adj(M)$
$det(M) = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5$
$adj(M) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
$M^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

Sekarang, kita punya:
$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4x' - 3y'}{5} \\ \frac{-x' + 2y'}{5} \end{pmatrix} $

Maka, $x = \frac{4x' - 3y'}{5}$ dan $y = \frac{-x' + 2y'}{5}$.

Substitusikan nilai x dan y ini ke dalam persamaan garis awal:
$y = 2x - 5$
$\frac{-x' + 2y'}{5} = 2 \left( \frac{4x' - 3y'}{5} \right) - 5$
Multiply kedua sisi dengan 5:
$-x' + 2y' = 2(4x' - 3y') - 25$
$-x' + 2y' = 8x' - 6y' - 25$
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan bayangan:
$0 = 8x' + x' - 6y' - 2y' - 25$
$0 = 9x' - 8y' - 25$

Atau, $9x - 8y - 25 = 0$.

Persamaan bayangan garis itu adalah $9x - 8y - 25 = 0$.