Sebuah lingkaran menyinggung garis 7x-y+37=0 pada titik

20√2

Pembahasan

Untuk menentukan jari-jari lingkaran yang menyinggung dua garis pada titik tertentu, kita perlu menggunakan beberapa konsep geometri analitik:

1.  **Menentukan pusat lingkaran:** Pusat lingkaran (h, k) harus berjarak sama dari kedua garis singgungnya. Jarak dari titik (h, k) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2).
2.  **Menggunakan titik singgung:** Titik singgung (-5, 2) terletak pada lingkaran dan tegak lurus terhadap garis singgung pertama (7x - y + 37 = 0). Gradien garis singgung pertama adalah m1 = -A/B = -7/(-1) = 7. Gradien garis yang menghubungkan pusat (h, k) ke titik singgung (-5, 2) harus tegak lurus terhadap garis singgung, sehingga gradiennya adalah -1/m1 = -1/7.
    Persamaan garis yang melalui pusat dan titik singgung: (k - 2) / (h - (-5)) = -1/7
    7(k - 2) = -(h + 5)
    7k - 14 = -h - 5
    h + 7k = 9  (Persamaan 1)

3.  **Jarak pusat ke garis singgung:** Jari-jari (r) adalah jarak dari pusat (h, k) ke salah satu garis singgung. Kita gunakan garis kedua (x + y - 13 = 0) karena lebih sederhana.
    r = |h + k - 13| / sqrt(1^2 + 1^2) = |h + k - 13| / sqrt(2)

4.  **Jarak pusat ke garis singgung pertama:** Pusat (h, k) juga berjarak r dari garis 7x - y + 37 = 0.
    r = |7h - k + 37| / sqrt(7^2 + (-1)^2) = |7h - k + 37| / sqrt(50)

5.  **Menyamakan jarak:**
    |h + k - 13| / sqrt(2) = |7h - k + 37| / sqrt(50)
    Kuadratkan kedua sisi:
    (h + k - 13)^2 / 2 = (7h - k + 37)^2 / 50
    25(h + k - 13)^2 = (7h - k + 37)^2

    Dari Persamaan 1 (h + 7k = 9), kita dapatkan h = 9 - 7k.
    Substitusikan h ke dalam persamaan jarak ke garis kedua:
    r = |(9 - 7k) + k - 13| / sqrt(2) = |-6k - 4| / sqrt(2) = |6k + 4| / sqrt(2)

    Substitusikan h ke dalam persamaan jarak ke garis pertama:
    r = |7(9 - 7k) - k + 37| / sqrt(50) = |63 - 7k - k + 37| / sqrt(50) = |100 - 8k| / sqrt(50)

    Samakan kedua ekspresi untuk r:
    |6k + 4| / sqrt(2) = |100 - 8k| / sqrt(50)
    Kuadratkan kedua sisi:
    (6k + 4)^2 / 2 = (100 - 8k)^2 / 50
    25(36k^2 + 48k + 16) = 10000 - 1600k + 64k^2
    900k^2 + 1200k + 400 = 10000 - 1600k + 64k^2
    836k^2 + 2800k - 9600 = 0
    Bagi dengan 4: 209k^2 + 700k - 2400 = 0

    Gunakan rumus kuadrat untuk k: k = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
    k = [-700 ± sqrt(700^2 - 4 * 209 * (-2400))] / (2 * 209)
    k = [-700 ± sqrt(490000 + 2006400)] / 418
    k = [-700 ± sqrt(2496400)] / 418
    k = [-700 ± 1580] / 418

    Ada dua kemungkinan nilai k:
    k1 = (-700 + 1580) / 418 = 880 / 418 = 440 / 209 = 40/19
    k2 = (-700 - 1580) / 418 = -2280 / 418 = -1140 / 209 = -120/19

    Jika k = 40/19, maka h = 9 - 7(40/19) = 9 - 280/19 = (171 - 280)/19 = -109/19.
    Pusat (h, k) = (-109/19, 40/19)
    r = |(-109/19) + (40/19) - 13| / sqrt(2) = |-69/19 - 247/19| / sqrt(2) = |-316/19| / sqrt(2) = (316/19) / sqrt(2) = 316 / (19*sqrt(2)) = (158*sqrt(2))/19

    Jika k = -120/19, maka h = 9 - 7(-120/19) = 9 + 840/19 = (171 + 840)/19 = 1011/19.
    Pusat (h, k) = (1011/19, -120/19)
    r = |(1011/19) + (-120/19) - 13| / sqrt(2) = |891/19 - 247/19| / sqrt(2) = |644/19| / sqrt(2) = (644/19) / sqrt(2) = 644 / (19*sqrt(2)) = (322*sqrt(2))/19

    Mari kita periksa kembali dengan titik singgung (-5,2) dan garis 7x - y + 37 = 0.
    Jika pusatnya (-109/19, 40/19), maka jarak ke titik singgung:
    sqrt((-5 - (-109/19))^2 + (2 - 40/19)^2)
    = sqrt((-95/19 + 109/19)^2 + (38/19 - 40/19)^2)
    = sqrt((14/19)^2 + (-2/19)^2)
    = sqrt(196/361 + 4/361) = sqrt(200/361) = sqrt(200)/19 = (10*sqrt(2))/19.
    Ini tidak sama dengan jari-jari yang kita hitung. Ada kesalahan dalam perhitungan.

    Mari kita gunakan pendekatan yang berbeda:
    Pusat lingkaran (h,k) berjarak sama dari kedua garis singgung.
    Jarak ke 7x - y + 37 = 0 adalah |7h - k + 37| / sqrt(50)
    Jarak ke x + y - 13 = 0 adalah |h + k - 13| / sqrt(2)

    |7h - k + 37| / sqrt(50) = |h + k - 13| / sqrt(2)
    |7h - k + 37| / (5 * sqrt(2)) = |h + k - 13| / sqrt(2)
    |7h - k + 37| = 5 |h + k - 13|

    Ini memberikan dua kemungkinan:
    1) 7h - k + 37 = 5(h + k - 13) => 7h - k + 37 = 5h + 5k - 65 => 2h - 6k + 102 = 0 => h - 3k + 51 = 0 => h = 3k - 51
    2) 7h - k + 37 = -5(h + k - 13) => 7h - k + 37 = -5h - 5k + 65 => 12h + 4k - 28 = 0 => 3h + k - 7 = 0 => k = 7 - 3h

    Titik (-5, 2) terletak pada lingkaran dan garis singgungnya adalah 7x - y + 37 = 0.
    Garis yang menghubungkan pusat (h,k) ke (-5,2) tegak lurus terhadap 7x - y + 37 = 0.
    Gradien garis singgung = 7. Gradien garis normal = -1/7.
    (k - 2) / (h - (-5)) = -1/7
    7(k - 2) = -(h + 5)
    7k - 14 = -h - 5
    h + 7k = 9

    Sekarang kita punya sistem persamaan:
    a) h = 3k - 51
    b) h + 7k = 9

    Substitusi (a) ke (b):
    (3k - 51) + 7k = 9
    10k - 51 = 9
    10k = 60
    k = 6

    Substitusi k=6 ke (a):
    h = 3(6) - 51 = 18 - 51 = -33
    Pusat lingkaran adalah (-33, 6).

    Sekarang hitung jari-jari menggunakan jarak dari pusat (-33, 6) ke garis x + y - 13 = 0:
    r = |(-33) + 6 - 13| / sqrt(1^2 + 1^2)
    r = |-33 + 6 - 13| / sqrt(2)
    r = |-40| / sqrt(2)
    r = 40 / sqrt(2)
    r = (40 * sqrt(2)) / 2
    r = 20 * sqrt(2)

    Mari kita cek jarak dari pusat (-33, 6) ke garis 7x - y + 37 = 0:
    r = |7(-33) - 6 + 37| / sqrt(7^2 + (-1)^2)
    r = |-231 - 6 + 37| / sqrt(49 + 1)
    r = |-200| / sqrt(50)
    r = 200 / (5 * sqrt(2))
    r = 40 / sqrt(2)
    r = 20 * sqrt(2)

    Jari-jari lingkaran adalah 20√2.