Sebuah segitiga ABC dengan AB=10 cm, BC=13 cm, dan AC=17

Panjang CP adalah 2√186 cm.

Pembahasan

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 10 cm, BC = 13 cm, dan AC = 17 cm. Titik P terletak pada perpanjangan garis AB sedemikian rupa sehingga perbandingan AP : PB = 7 : 5. Kita perlu menghitung panjang CP.
Karena P terletak pada perpanjangan AB, maka P berada di luar segmen AB. Perbandingan AP : PB = 7 : 5 berarti bahwa jarak dari A ke P dibagi jarak dari P ke B adalah 7/5. 
Misalkan titik A adalah titik asal (0,0) pada sistem koordinat Kartesius. Kita bisa menempatkan titik B pada sumbu x. Maka koordinat A = (0,0) dan B = (10,0).
Titik P terletak pada perpanjangan AB. Karena AP : PB = 7 : 5, maka P membagi segmen AB di luar dengan perbandingan tersebut. Kita bisa menggunakan rumus pembagian garis luar. Namun, lebih mudah jika kita memvisualisasikan P berada di sebelah kanan B, karena rasio AP lebih besar dari PB.
Jarak AP = AB + BP. Dari perbandingan AP/PB = 7/5, kita bisa tulis AP = (7/5)PB. 
Karena AP = AB + PB, substitusikan AP: (7/5)PB = 10 + PB.
Kurangi kedua sisi dengan PB: (7/5)PB - PB = 10.
(7/5)PB - (5/5)PB = 10.
(2/5)PB = 10.
PB = 10 * (5/2) = 25 cm.
Sekarang kita tahu jarak PB = 25 cm. Maka jarak AP = AB + PB = 10 cm + 25 cm = 35 cm. Periksa perbandingan: AP/PB = 35/25 = 7/5. Ini sesuai.
Jadi, koordinat P adalah (35, 0) jika A=(0,0) dan B=(10,0).
Sekarang kita perlu mencari panjang CP. Kita tahu C berada di suatu tempat sehingga jarak AC = 17 cm dan BC = 13 cm. Kita bisa menggunakan hukum kosinus pada segitiga ABC untuk mencari salah satu sudutnya, misalnya sudut A atau B, tetapi itu akan rumit. Cara lain adalah menggunakan koordinat. Mari kita tentukan koordinat C.
Misalkan A = (0,0) dan B = (10,0).
Misalkan koordinat C = (x, y).
Maka AC^2 = x^2 + y^2 = 17^2 = 289.
Dan BC^2 = (x-10)^2 + y^2 = 13^2 = 169.
(x^2 - 20x + 100) + y^2 = 169.
Substitusikan x^2 + y^2 = 289:
289 - 20x + 100 = 169.
389 - 20x = 169.
389 - 169 = 20x.
220 = 20x.
x = 11.
Sekarang cari y: y^2 = 289 - x^2 = 289 - 11^2 = 289 - 121 = 168.
y = √168 = √(4 * 42) = 2√42.
Jadi, koordinat C adalah (11, 2√42).
Koordinat P adalah (35, 0).
Sekarang hitung jarak CP menggunakan rumus jarak:
CP^2 = (x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2
CP^2 = (35 - 11)^2 + (0 - 2√42)^2
CP^2 = (24)^2 + (-2√42)^2
CP^2 = 576 + (4 * 42)
CP^2 = 576 + 168
CP^2 = 744
CP = √744
Untuk menyederhanakan √744, kita cari faktor kuadratnya. 744 = 4 * 186 = 4 * 2 * 93 = 4 * 2 * 3 * 31. Tidak ada faktor kuadrat lain selain 4.
CP = √744 = √(4 * 186) = 2√186 cm.