Sebuah segitiga siku-siku ABC sudut siku-siku di B dengan

Koordinat A setelah rotasi adalah (-3, 2) dan koordinat C adalah (1, 5).

Pembahasan

Pertama, kita perlu menemukan panjang sisi BC menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2. Diketahui AC = 5 dan AB = 4, maka 5^2 = 4^2 + BC^2. Ini berarti 25 = 16 + BC^2, sehingga BC^2 = 25 - 16 = 9. Maka, panjang BC adalah akar dari 9, yaitu 3 satuan. Kita perlu menentukan koordinat A dan C relatif terhadap B sebelum melakukan rotasi. Karena B adalah titik siku-siku, AB tegak lurus dengan BC. Ada dua kemungkinan orientasi untuk BC relatif terhadap AB. Namun, tanpa informasi lebih lanjut mengenai posisi A dan C, kita bisa mengasumsikan salah satu orientasi. Mari kita asumsikan AB sejajar dengan sumbu y dan BC sejajar dengan sumbu x. Jika AB = 4 dan B = (1, 2), maka A bisa berada di (1, 2+4) = (1, 6) atau (1, 2-4) = (1, -2). Jika A = (1, 6), maka agar BC tegak lurus AB dan BC = 3, C bisa berada di (1+3, 6) = (4, 6) atau (1-3, 6) = (-2, 6). Namun, ini tidak membentuk segitiga siku-siku di B. Kita harus mempertimbangkan vektor AB dan BC yang berawal dari B. Misalkan B = (1, 2). Kita bisa menempatkan A dan C sedemikian rupa sehingga AB tegak lurus BC. Misalkan AB sejajar sumbu y positif dan BC sejajar sumbu x positif. Maka vektor BA = (0, 4) dan vektor BC = (3, 0). Ini berarti A = B + BA = (1, 2) + (0, 4) = (1, 6). Dan C = B + BC = (1, 2) + (3, 0) = (4, 2). Mari kita cek: AB = sqrt((1-1)^2 + (6-2)^2) = sqrt(0^2 + 4^2) = 4. BC = sqrt((4-1)^2 + (2-2)^2) = sqrt(3^2 + 0^2) = 3. AC = sqrt((4-1)^2 + (2-6)^2) = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5. Ini sesuai dengan deskripsi. Sekarang, kita rotasikan titik A(1, 6) dan C(4, 2) sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal (0,0). Rumus rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam adalah (x, y) -> (-y, x). Namun, rotasi dilakukan pada segitiga yang titik B-nya berada di (1,2), bukan di (0,0). Kita bisa melakukan rotasi titik A dan C terhadap B terlebih dahulu, lalu menerapkan rotasi. Cara yang lebih mudah adalah dengan menggeser seluruh sistem koordinat sehingga B berada di titik asal, lakukan rotasi, lalu geser kembali. Namun, soal ini mengasumsikan rotasi segitiga itu sendiri. Mari kita asumsikan rotasi dilakukan terhadap titik asal (0,0). Koordinat A = (1, 6) akan menjadi A' = (-6, 1). Koordinat C = (4, 2) akan menjadi C' = (-2, 4). Jika rotasi dilakukan terhadap titik B(1,2), kita perlu menggeser koordinat A dan C sehingga B menjadi titik asal. A relatif terhadap B: (1-1, 6-2) = (0, 4). C relatif terhadap B: (4-1, 2-2) = (3, 0). Rotasikan titik-titik ini 90 derajat berlawanan arah jarum jam: (0, 4) -> (-4, 0). (3, 0) -> (0, 3). Sekarang geser kembali titik-titik hasil rotasi dengan menambahkan koordinat B: A'' = (-4, 0) + (1, 2) = (-3, 2). C'' = (0, 3) + (1, 2) = (1, 5). Mari kita periksa orientasi. Jika A menjadi (-3, 2) dan C menjadi (1, 5), B tetap di (1, 2). Jarak BA'' = sqrt((-3-1)^2 + (2-2)^2) = sqrt((-4)^2 + 0^2) = 4. Jarak BC'' = sqrt((1-1)^2 + (5-2)^2) = sqrt(0^2 + 3^2) = 3. Jarak AC'' = sqrt((1-(-3))^2 + (5-2)^2) = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt(16+9) = sqrt(25) = 5. Sudut siku-siku di B masih terjaga. Jadi, koordinat A setelah rotasi adalah (-3, 2) dan koordinat C setelah rotasi adalah (1, 5).