Sebuah vektor x mempunyai panjang akar(5) dengan membentuk

Vektor x adalah (2, 1) atau (2/5, 11/5).

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep proyeksi vektor.

Diketahui:
Panjang vektor x, yaitu ||x|| = akar(5).
Vektor y = (3, 4).
Sudut antara x dan y adalah sudut lancip.
Panjang proyeksi vektor x ke vektor y adalah 2.

Rumus panjang proyeksi skalar vektor x ke vektor y adalah:
Proyeksi_y x = (x · y) / ||y||

Kita diberikan bahwa panjang proyeksi ini adalah 2.
2 = (x · y) / ||y||

Pertama, hitung panjang vektor y:
||y|| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Sekarang, substitusikan nilai ||y|| ke dalam rumus proyeksi:
2 = (x · y) / 5
x · y = 2 * 5
x · y = 10

Misalkan vektor x = (x1, x2).
Maka, x · y = x1*3 + x2*4 = 3x1 + 4x2.
Jadi, 3x1 + 4x2 = 10.

Kita juga tahu bahwa panjang vektor x adalah akar(5):
||x|| = sqrt(x1^2 + x2^2) = akar(5)
x1^2 + x2^2 = 5.

Kita perlu menyelesaikan sistem persamaan:
1) 3x1 + 4x2 = 10
2) x1^2 + x2^2 = 5

Dari persamaan (1), kita bisa mengekspresikan x1 dalam bentuk x2 (atau sebaliknya):
3x1 = 10 - 4x2
x1 = (10 - 4x2) / 3.

Substitusikan ekspresi x1 ke dalam persamaan (2):
((10 - 4x2) / 3)^2 + x2^2 = 5
(100 - 80x2 + 16x2^2) / 9 + x2^2 = 5

Kalikan seluruh persamaan dengan 9 untuk menghilangkan penyebut:
100 - 80x2 + 16x2^2 + 9x2^2 = 45

Gabungkan suku-suku yang serupa:
25x2^2 - 80x2 + 100 = 45
25x2^2 - 80x2 + 100 - 45 = 0
25x2^2 - 80x2 + 55 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 5 untuk menyederhanakan:
5x2^2 - 16x2 + 11 = 0

Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini untuk x2 menggunakan rumus kuadrat: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 5, b = -16, c = 11.

x2 = [ -(-16) ± sqrt((-16)^2 - 4 * 5 * 11) ] / (2 * 5)
x2 = [ 16 ± sqrt(256 - 220) ] / 10
x2 = [ 16 ± sqrt(36) ] / 10
x2 = [ 16 ± 6 ] / 10

Ada dua kemungkinan nilai untuk x2:
x2_1 = (16 + 6) / 10 = 22 / 10 = 11/5
x2_2 = (16 - 6) / 10 = 10 / 10 = 1

Sekarang, kita cari nilai x1 yang sesuai untuk setiap nilai x2 menggunakan x1 = (10 - 4x2) / 3.

Kasus 1: x2 = 11/5
x1 = (10 - 4 * (11/5)) / 3
x1 = (10 - 44/5) / 3
x1 = ((50 - 44) / 5) / 3
x1 = (6/5) / 3
x1 = 6 / 15 = 2/5

Jadi, salah satu kemungkinan vektor x adalah (2/5, 11/5).
Mari kita periksa panjangnya: (2/5)^2 + (11/5)^2 = 4/25 + 121/25 = 125/25 = 5. Panjangnya adalah sqrt(5). Ini benar.
Mari kita periksa proyeksinya: ( (2/5)*3 + (11/5)*4 ) / 5 = (6/5 + 44/5) / 5 = (50/5) / 5 = 10 / 5 = 2. Ini juga benar.

Kasus 2: x2 = 1
x1 = (10 - 4 * 1) / 3
x1 = (10 - 4) / 3
x1 = 6 / 3 = 2

Jadi, kemungkinan vektor x lainnya adalah (2, 1).
Mari kita periksa panjangnya: 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5. Panjangnya adalah sqrt(5). Ini benar.
Mari kita periksa proyeksinya: ( 2*3 + 1*4 ) / 5 = (6 + 4) / 5 = 10 / 5 = 2. Ini juga benar.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan kondisi bahwa vektor x membentuk sudut lancip pada vektor y = (3,4).

Sudut lancip berarti hasil kali titik (dot product) x · y positif. Kita sudah mendapatkan x · y = 10, yang memang positif. Jadi, kedua solusi memenuhi kondisi ini.

Vektor y = (3,4) berada di kuadran pertama. Untuk membentuk sudut lancip dengan y, vektor x juga harus memiliki komponen yang mengarah ke kuadran yang sama atau mendekatinya.

Untuk vektor x = (2/5, 11/5) = (0.4, 2.2), kedua komponen positif, berada di kuadran pertama.
Untuk vektor x = (2, 1), kedua komponen positif, berada di kuadran pertama.

Kedua vektor ini akan membentuk sudut lancip dengan vektor y = (3,4) karena hasil kali titiknya positif dan vektor-vektor tersebut berada di kuadran yang sama.

Soal meminta "vektor x itu adalah ...." yang menyiratkan mungkin ada satu jawaban yang lebih spesifik atau kedua jawaban tersebut valid.

Jika kita melihat pilihan jawaban yang mungkin ada, kedua vektor (2/5, 11/5) dan (2, 1) adalah kandidat yang valid. Namun, tanpa pilihan jawaban, kita harus menyajikan kedua kemungkinan tersebut.

Seringkali dalam soal seperti ini, ada penyederhanaan atau cara lain untuk melihatnya.

Jika kita memproyeksikan x ke y, kita mendapatkan vektor proyeksi. Panjang proyeksi adalah skalar. Vektor proyeksi dari x pada y adalah:
proj_y x = ((x · y) / ||y||^2) * y

Kita tahu (x · y) / ||y|| = 2, dan ||y|| = 5.
Jadi, (x · y) = 10.

proj_y x = (10 / 5^2) * y = (10 / 25) * y = (2/5) * y.

Vektor proyeksi x pada y adalah (2/5) * (3,4) = (6/5, 8/5).

Ini berarti bahwa vektor x memiliki komponen yang searah dengan y, yaitu (6/5, 8/5), dan komponen yang tegak lurus dengan y.

vektor x = vektor proyeksi + vektor komponen ortogonal.
vektor x = (6/5, 8/5) + vektor_ortogonal.

Panjang vektor x adalah sqrt(5).
||x||^2 = ||proj_y x + vektor_ortogonal||^2 = 5.
Karena proj_y x dan vektor_ortogonal tegak lurus, maka:
||x||^2 = ||proj_y x||^2 + ||vektor_ortogonal||^2

||proj_y x|| adalah panjang proyeksi skalar, yang diberikan sebagai 2.
Jadi, ||proj_y x||^2 = 2^2 = 4.

5 = 4 + ||vektor_ortogonal||^2
||vektor_ortogonal||^2 = 5 - 4 = 1.
||vektor_ortogonal|| = 1.

Jadi, vektor x adalah hasil penjumlahan vektor proyeksi (6/5, 8/5) dengan vektor ortogonal yang panjangnya 1.

Vektor ortogonal terhadap y = (3,4) adalah vektor yang hasil kali titiknya dengan y adalah 0. Vektor seperti (-4, 3) atau (4, -3) adalah ortogonal terhadap (3,4).

Kita perlu vektor ortogonal yang panjangnya 1.
Misalkan vektor ortogonal adalah k * (-4, 3).
Panjangnya adalah |k| * sqrt((-4)^2 + 3^2) = |k| * sqrt(16 + 9) = |k| * sqrt(25) = 5|k|.

Kita ingin panjangnya 1, jadi 5|k| = 1 => |k| = 1/5.
Maka k = 1/5 atau k = -1/5.

Vektor ortogonal bisa jadi (1/5)*(-4, 3) = (-4/5, 3/5) atau (-1/5)*(-4, 3) = (4/5, -3/5).

Sekarang, tambahkan vektor proyeksi dengan vektor ortogonal:

Kasus 1: Vektor ortogonal = (-4/5, 3/5)
x = (6/5, 8/5) + (-4/5, 3/5) = (6/5 - 4/5, 8/5 + 3/5) = (2/5, 11/5).
Ini sesuai dengan salah satu solusi kita sebelumnya.

Kasus 2: Vektor ortogonal = (4/5, -3/5)
x = (6/5, 8/5) + (4/5, -3/5) = (6/5 + 4/5, 8/5 - 3/5) = (10/5, 5/5) = (2, 1).
Ini sesuai dengan solusi kita yang lain.

Kedua vektor ini memenuhi semua kondisi.

Kondisi sudut lancip.
Untuk x = (2/5, 11/5) dan y = (3,4).
cos(theta) = (x · y) / (||x|| ||y||) = 10 / (sqrt(5) * 5) = 10 / (5 * sqrt(5)) = 2 / sqrt(5).
Karena cos(theta) positif, sudutnya lancip.

Untuk x = (2, 1) dan y = (3,4).
cos(theta) = (x · y) / (||x|| ||y||) = 10 / (sqrt(5) * 5) = 10 / (5 * sqrt(5)) = 2 / sqrt(5).
Karena cos(theta) positif, sudutnya lancip.

Kedua jawaban valid. Namun, biasanya soal seperti ini mengarah pada satu jawaban yang lebih