Sederhanakanlah: (sin A+sin 3 A+sin 5 A+sin 7 A)/(cos A+cos

tan(4A)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi (sin A + sin 3A + sin 5A + sin 7A) / (cos A + cos 3A + cos 5A + cos 7A), kita dapat menggunakan rumus penjumlahan sudut:

sin x + sin y = 2 sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)
cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2)

Kelompokkan suku-suku dalam pembilang dan penyebut:
(sin A + sin 7A) + (sin 3A + sin 5A)
--------------------------------------
(cos A + cos 7A) + (cos 3A + cos 5A)

Terapkan rumus penjumlahan sudut:
[2 sin((A+7A)/2) cos((A-7A)/2)] + [2 sin((3A+5A)/2) cos((3A-5A)/2)]
-------------------------------------------------------------------------
[2 cos((A+7A)/2) cos((A-7A)/2)] + [2 cos((3A+5A)/2) cos((3A-5A)/2)]

Sederhanakan:
[2 sin(4A) cos(-3A)] + [2 sin(4A) cos(-A)]
-----------------------------------------
[2 cos(4A) cos(-3A)] + [2 cos(4A) cos(-A)]

Karena cos(-x) = cos x:
[2 sin(4A) cos(3A)] + [2 sin(4A) cos(A)]
-----------------------------------------
[2 cos(4A) cos(3A)] + [2 cos(4A) cos(A)]

Faktorkan 2 sin(4A) dari pembilang dan 2 cos(4A) dari penyebut:
2 sin(4A) [cos(3A) + cos(A)]
----------------------------
2 cos(4A) [cos(3A) + cos(A)]

Batalkan suku yang sama (2 dan [cos(3A) + cos(A)]):
sin(4A) / cos(4A)

Hasil akhirnya adalah tan(4A).