Selembar karton berbentuk persegipanjang dengan lebar 5 dm

Panjang 6 dm, lebar 3 dm, tinggi 1 dm

Pembahasan

Untuk membuat kotak tanpa tutup dari selembar karton berbentuk persegipanjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm, dengan memotong persegi bersisi x dm pada keempat pojoknya, kita perlu mencari dimensi kotak yang memaksimalkan volume.

Misalkan:
Panjang karton (P) = 8 dm
Lebar karton (L) = 5 dm
Sisi persegi yang dipotong pada pojok = x dm

Setelah dipotong, dimensi kotak akan menjadi:
Panjang kotak (p) = P - 2x = 8 - 2x
Lebar kotak (l) = L - 2x = 5 - 2x
Tinggi kotak (t) = x

Volume kotak (V) adalah hasil perkalian panjang, lebar, dan tinggi:
V(x) = p * l * t
V(x) = (8 - 2x)(5 - 2x)(x)
V(x) = (40 - 16x - 10x + 4x^2)(x)
V(x) = (40 - 26x + 4x^2)(x)
V(x) = 4x^3 - 26x^2 + 40x

Untuk mencari volume maksimum, kita perlu mencari turunan pertama V(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol:
V'(x) = 12x^2 - 52x + 40

Atur V'(x) = 0:
12x^2 - 52x + 40 = 0
Bagi dengan 4:
3x^2 - 13x + 10 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(3x - 10)(x - 1) = 0

Maka, nilai x yang memungkinkan adalah x = 10/3 atau x = 1.

Kita perlu memeriksa nilai x yang valid. Karena lebar karton adalah 5 dm, maka 2x harus lebih kecil dari 5, sehingga x < 2.5. Oleh karena itu, x = 10/3 tidak valid.
Nilai x yang valid adalah x = 1 dm.

Sekarang, hitung dimensi kotak dengan x = 1:
Panjang kotak (p) = 8 - 2(1) = 8 - 2 = 6 dm
Lebar kotak (l) = 5 - 2(1) = 5 - 2 = 3 dm
Tinggi kotak (t) = 1 dm

Jadi, ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume maksimum berturut-turut adalah 6 dm, 3 dm, dan 1 dm.