Selesaiakanlah SPLTV berikut dengan metode eliminasi Gauss.

Solusi bergantung pada parameter t (misal z=t), yaitu x=(-1-3t)/4, y=(-1-3t)/2, z=t, dengan asumsi 'a' adalah 'x'.

Pembahasan

Soal ini meminta penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) menggunakan metode eliminasi Gauss.

Sistem Persamaan yang diberikan:
1. 4a + 3z = -1
2. y - 2x = 0
3. 2y + 3z = -1

Langkah-langkah penyelesaian dengan eliminasi Gauss:

**Tahap 1: Menata Ulang Persamaan**
Agar lebih mudah diterapkan metode eliminasi Gauss, kita perlu menata ulang persamaan agar variabel-variabelnya sejajar. Kita akan gunakan urutan variabel (a, y, z) atau (x, y, z) sesuai konteks soal. Karena variabel yang muncul adalah a, y, x, dan z, mari kita coba susun dalam urutan standar (misal x, y, z, dan konstanta).

Perhatikan bahwa persamaan (1) hanya memiliki 'a' dan 'z', persamaan (2) hanya 'y' dan 'x', dan persamaan (3) memiliki 'y' dan 'z'. Ini agak tidak biasa karena tidak semua variabel muncul di setiap persamaan.

Mari kita anggap 'a' di persamaan (1) adalah variabel yang berbeda dari 'x' di persamaan (2). Jika 'a' seharusnya 'x', maka soalnya menjadi berbeda. Asumsikan variabelnya adalah a, y, z.

Persamaan yang ada:
(I)   4a + 0y + 3z = -1
(II)  0a + 1y - 2x = 0  <-- Persamaan ini memiliki 'x' yang tidak ada di tempat lain.
(III) 0a + 2y + 3z = -1

Ada kemungkinan ada kesalahan pengetikan di soal, di mana 'a' di persamaan (1) seharusnya adalah 'x', atau ada variabel lain yang hilang. Namun, kita akan mencoba menyelesaikannya sesuai teks yang diberikan, dengan asumsi 'a' dan 'x' adalah variabel yang berbeda atau 'x' merujuk pada variabel yang sama dengan 'a' atau 'y'.

Jika kita menganggap ada 3 variabel yaitu a, y, dan z, maka persamaan (2) 'y - 2x = 0' mengandung variabel 'x' yang tidak terdefinisi dalam sistem ini (a, y, z). Ini membuat soal tidak dapat diselesaikan seperti SPLTV standar.

**Asumsi Koreksi Soal:**
Seringkali dalam soal seperti ini, ada kekeliruan pengetikan. Mari kita buat dua asumsi:

**Asumsi 1: Variabelnya adalah x, y, z, dan 'a' di persamaan (1) adalah 'x'.**
Sistem menjadi:
1. 4x + 3z = -1
2. y - 2x = 0  => -2x + y = 0
3. 2y + 3z = -1

Menata ulang agar urut:
(1) 4x + 0y + 3z = -1
(2) -2x + 1y + 0z = 0
(3) 0x + 2y + 3z = -1

Matriks Augmented:
[ 4  0  3 | -1 ]
[-2  1  0 |  0 ]
[ 0  2  3 | -1 ]

Operasi Baris Elementer untuk eliminasi Gauss:
1. Tukar baris 1 dan 2 (R1 <-> R2) agar elemen pertama non-nol adalah -2:
   [ -2  1  0 |  0 ]
   [  4  0  3 | -1 ]
   [  0  2  3 | -1 ]

2. Buat elemen di bawah -2 menjadi nol.  (R2 -> R2 + 2*R1):
   [ -2   1   0 |  0 ]
   [  0   2   3 | -1 ]   (4 + 2*(-2) = 0, 0 + 2*1 = 2, 3 + 2*0 = 3, -1 + 2*0 = -1)
   [  0   2   3 | -1 ]

3. Sekarang kita punya dua baris yang identik (baris 2 dan 3). Kita bisa membuat salah satunya nol. (R3 -> R3 - R2):
   [ -2   1   0 |  0 ]
   [  0   2   3 | -1 ]
   [  0   0   0 |  0 ]

Baris terakhir [0 0 0 | 0] menunjukkan bahwa sistem ini memiliki tak hingga banyak solusi (tergantung/dependen).

Dari baris kedua: 2y + 3z = -1 => 2y = -1 - 3z => y = (-1 - 3z) / 2
Dari baris pertama: -2x + y = 0 => -2x = -y => x = y / 2
Substitusi y:
   x = [(-1 - 3z) / 2] / 2
   x = (-1 - 3z) / 4

Solusinya adalah dalam bentuk:
x = (-1 - 3z) / 4
y = (-1 - 3z) / 2
z = z (variabel bebas)

Ini adalah solusi jika 'a' adalah 'x'.

**Asumsi 2: Variabelnya adalah a, y, z, dan persamaan (2) adalah typo, mungkin seharusnya terkait dengan 'a' atau 'y'.**
Jika kita mengabaikan persamaan (2) karena mengandung variabel 'x' yang tidak konsisten, kita hanya punya 2 persamaan dengan 3 variabel:
1. 4a + 3z = -1
3. 2y + 3z = -1
Ini juga menghasilkan tak hingga banyak solusi karena jumlah persamaan < jumlah variabel.

**Kesimpulan berdasarkan Asumsi 1 (paling mungkin):**
Dengan asumsi bahwa 'a' di persamaan (1) seharusnya 'x', sistem persamaan linear tersebut adalah dependen dan memiliki tak hingga banyak solusi yang dapat diekspresikan dengan parameter 'z'.

Solusi dalam bentuk:
-2x + y = 0  => y = 2x
4x + 3z = -1 => 3z = -1 - 4x => z = (-1 - 4x) / 3

Jika kita gunakan z sebagai parameter:
Dari -2x + y = 0, kita punya y = 2x.
Dari 4a + 3z = -1, ini adalah 4x + 3z = -1 (mengganti a dengan x).
Dari 2y + 3z = -1, substitusi y = 2x:
2(2x) + 3z = -1
4x + 3z = -1

Kedua persamaan (setelah penggantian a->x) menjadi identik: 4x + 3z = -1. Ini mengkonfirmasi bahwa sistem ini dependen.

Kita bisa menyatakan solusi dalam bentuk:
Misalkan z = t (parameter)
Maka 4x + 3t = -1 => 4x = -1 - 3t => x = (-1 - 3t) / 4
Karena y = 2x, maka y = 2 * [(-1 - 3t) / 4] = (-1 - 3t) / 2

Jadi, solusi umumnya adalah:
x = (-1 - 3t) / 4
y = (-1 - 3t) / 2
z = t

Ini adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan eliminasi Gauss ketika ada ketergantungan antar persamaan.