Selesaikan integral berikut dengan menggunakan metode

Hasil integralnya adalah $- \frac{4}{5} (1-x^2)^{5/4} + C$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int 2x (1-x^2)^{1/4} dx$ dengan menggunakan metode substitusi, kita perlu mengidentifikasi bagian dari integral yang dapat disubstitusi.

Perhatikan bahwa turunan dari $(1-x^2)$ adalah $-2x$. Ini sangat mirip dengan bagian $2x$ di luar tanda kurung.

Langkah 1: Lakukan substitusi.
Misalkan $u = 1-x^2$.
Kemudian, cari turunan $u$ terhadap $x$: $rac{du}{dx} = -2x$.
Susun ulang untuk mendapatkan $du$: $du = -2x dx$.

Langkah 2: Sesuaikan integral dengan substitusi.
Kita memiliki $2x dx$ dalam integral. Dari $du = -2x dx$, kita bisa mendapatkan $2x dx = -du$.

Langkah 3: Ganti bagian-bagian integral.
Ganti $(1-x^2)$ dengan $u$ dan $2x dx$ dengan $-du$.
Integral menjadi: $\int u^{1/4} (-du) = - \int u^{1/4} du$.

Langkah 4: Integralkan terhadap $u$.
Gunakan aturan pangkat untuk integrasi: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.
Dalam kasus ini, $n = 1/4$.
$- \int u^{1/4} du = - \left( \frac{u^{1/4+1}}{1/4+1} \right) + C$
$= - \left( \frac{u^{5/4}}{5/4} \right) + C$
$= - \left( \frac{4}{5} u^{5/4} \right) + C$
$= -\frac{4}{5} u^{5/4} + C$.

Langkah 5: Ganti kembali $u$ dengan ekspresi aslinya.
Ingat bahwa $u = 1-x^2$.
Ganti kembali $u$: $- \frac{4}{5} (1-x^2)^{5/4} + C$.

Jadi, hasil integralnya adalah $- \frac{4}{5} (1-x^2)^{5/4} + C$.